Задание №171355: Механика

3. В данной залаче траекторией муравья является спираль Архимеда. Для того чтобы найти её радиус кривизны, разложим вектор ускорения на две взаимно перпендикулярные составляющие: →− →− →− 𝑎 = 𝑎 + 𝑎 . 𝜏 𝑛 →− Составлющая 𝑎 , направленная по касательной к траектории, называется тангенциальным или каса𝜏 →− тельным ускорением. Составляющая 𝑎 называется нормальным или центростремителным 𝑛 ускорением. Она направлена перпендикулярно касательной в сторону вогнутости траектории. Радиус кривизны траектории 𝑅 связан с абсолютной величиной нормального ускорения соотношением: 𝑉 2 𝑎 = . 𝑛 𝑅 Поскольку полное ускорение муравья уже было рассмотрено в пункте 2, величину 𝑎 можно найти, 𝑛 зная тангенциальное ускорение: √︀ 𝑎 = 𝑎2 − 𝑎2 . 𝑛 𝜏 →− Так как вектор скорости 𝑉 направлен по касательной к траектории, абсолютная величина →− тангенциального ускорения определяется проекцией полного ускорения 𝑎 на направление векто- →− →− →− ра 𝑉 . Учитывая, что угол между векторами 𝑎 и 𝑉 равен (𝛽 − 𝛼 ), получаем: √︀ 𝑎 = 𝑎 cos(𝛽 − 𝛼 ), 𝑎 = 𝑎2 − 𝑎2 cos2 (𝛽 − 𝛼 ) = 𝑎 sin(𝛽 − 𝛼 ), 𝜏 𝑛 𝑉 2 𝑉 2 𝑅 = = ≈ 27,5 см. 𝑎 𝑎 sin(𝛽 − 𝛼 ) 𝑛 Ответ: √︀ 1. 𝑉 = 𝑉 2 + (𝜔 𝑟 )2 ≈ 7,2 см/с, 𝛼 = arctg(𝜔 𝑟 /𝑉 ) ≈ 56∘ . 0 0 √︀ 2. 𝑎 = 𝜔 (2𝑉 )2 + (𝜔 𝑟 )2 = 2 см/с2 , 𝛽 = 180∘ − arctg(2𝑉 /𝜔 𝑟 ) ≈ 127∘ . 0 0 3. 𝑅 = 𝑉 2 /(𝑎 sin(𝛽 − 𝛼 )) ≈ 27,5 см. Критерии →− →−