Задание №171178: Механика

Обозначим через 𝐴, 𝐶, 𝐸, 𝐺 вершины восьмиугольника с номерами 1, 3, 5, 7 соответственно, то есть именно в них
расположены источники теплоты. Через время
𝑎
𝑡 =
𝑣
тепловой фронт от каждого источника представляет собой окружность радиуса
𝑅 = 𝑣𝑡 = 𝑎.
Рассмотрим два соседних источника, например, в вершинах 𝐴 и 𝐶. Между ними находится вершина 𝐵 (с номером
«2»). Так как восьмиугольник правильный, то
𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝑎, ∠𝐴𝐵𝐶 = 135∘.

Поскольку 𝐴𝐵 = 𝑎 = 𝑅 и 𝐶𝐵 = 𝑎 = 𝑅, точка 𝐵 лежит одновременно на обеих окружностях, то есть является одной
из точек их пересечения. Обозначим вторую точку пересечения через 𝑃.
Рассмотрим четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝑃. Все его стороны равны 𝑎:
𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝑎 (стороны восьмиугольника),

𝑃𝐴 = 𝑃𝐶 = 𝑎 (точка 𝑃 лежит на обеих окружностях радиуса 𝑎).
Следовательно, 𝐴𝐵𝐶𝑃 — ромб со стороной 𝑎.
В ромбе противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна 180∘. Угол при вершине 𝐵 известен:

∠𝐴𝐵𝐶 = 135∘.
Тогда противоположный ему угол:
∠𝐴𝑃𝐶 = 135∘,

а углы при вершинах 𝐴 и 𝐶:
∠𝐵𝐴𝑃 = ∠𝐵𝐶𝑃 = 180∘ − 135∘ = 45∘.
Граница области, нагретой одновременно от источников 𝐴 и 𝐶, представляет собой «линзу», ограниченную двумя
дугами окружностей, стягивающими центральный угол 45∘. Тогда длина одной дуги равна
2𝜋𝑎 · 45∘ 𝜋𝑎
𝑙 = = .
1 360∘ 4
Одна область пересечения двух соседних фронтов ограничена двумя такими дугами, значит её граница имеет длину
𝜋𝑎
𝑙 = 2𝑙 = .
1 2
Из соображений симметрии заключаем, что всего на пластине имеется четыре таких области. При этом фронты от
противоположных источников не пересекаются, поэтому суммарная длина границы всей области, нагретой одновременно
двумя источниками, равна
𝜋𝑎
𝐿 = 4 · = 2𝜋𝑎.
2