Официальный разбор · ВсОШ
100 подробных разборов. В профиле показываются только проверенные материалы.
Задание №9 · Математика · Олимпиада
(И.Кухарчук) Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром в I. Окружности BID и AIC пересеклись в точке P, а лучи AB и DC в точке Q. Пусть R…
Математика · ОлимпиадаЗадание №10 · Математика · Олимпиада
(Е.Волокитин) Даны окружность !, точка A на ней и точка B. Пусть X — произвольная точка !, T — точка пересечения касательных к окружности ABX в точках…
Математика · ОлимпиадаЗадание №11 · Математика · Олимпиада
(А.Марданов) Точки P и Q на стороне AC треугольника ABC таковы, что PQ = AC=2…
Математика · ОлимпиадаЗадание №12 · Математика · Олимпиада
(А.Терешин) Вершины прямоугольного треугольника ABC — точки с целыми координатами. Вписанная в треугольник окружность с центром I касается сторон AB, …
Математика · ОлимпиадаЗадание №13 · Математика · Олимпиада
(Д.Крохалев) Пусть A :::A — выпуклый многоугольник. Вершины двух за- 1 n мкнутых …
Математика · ОлимпиадаЗадание №14 · Математика · Олимпиада
(В.Конышев) Дан треугольник ABC(AB < AC). На луче BA отмечена точка P так, что BP = AC, на луче CA точка Q так, что CQ = AB. На прямую PQ опустили …
Математика · ОлимпиадаЗадание №15 · Математика · Олимпиада
(Л.Емельянов, П.Кожевников) Докажите, что точка Нагеля треугольника ле- жит на его вписанной окружности тогда и только тогда, когда биссектрисы двух у…
Математика · ОлимпиадаЗадание №16 · Математика · Олимпиада
(М.Панов) Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапе- ции ABCD и параллельная ее основаниям, пересекает боковую сторону AB в точке M.…
Математика · ОлимпиадаЗадание №17 · Математика · Олимпиада
(К.Бельский) Дан остроугольный треугольник ABC с ортоцентром H и цен- тром описанной окружности O. Касательные к описанной окружности треугольника ABC…
Математика · ОлимпиадаЗадание №18 · Математика · Олимпиада
(К.Бельский) Дана точка P внутри треугольника △ABC. Прямые BP;CP повторно пересекают окружность ABC в точках E;F соответственно. Окружность …
Математика · ОлимпиадаЗадание №19 · Математика · Олимпиада
(Я.Щербатов) Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, ка- сается сторон BC, CA, AB в точках A′, B′, C′ соответственно. Точки A , A , B , C — …
Математика · ОлимпиадаЗадание №20 · Математика · Олимпиада
(Ю.Нагуманов) Высоты AA , BB , CC треугольника ABC повторно пере- 1 1 1 секают опис…
Математика · ОлимпиадаЗадание №22 · Математика · Олимпиада
(С.Чуев) Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке D. Пусть F — точка Фейербаха, H — основание перпендикуляра, опущенного из т…
Математика · ОлимпиадаЗадание №23 · Математика · Олимпиада
(В.Шеломовский) Даны треугольник ABC и точка P на плоскости. Прямые AP, BP, CP пересекают во второй раз окружность ABC в точках A′, B′, C′ соответ- ст…
Математика · ОлимпиадаЗадание №24 · Математика · Олимпиада
(А.Терешин) Сфера, вписанная в тетраэдр ABCD, касается грани ABC в ее ортоцентре H, а граней ABD, ACD в точках P, Q соответственно. Прямые DP, DQ пере…
Математика · ОлимпиадаЗадание №1 · Математика · Олимпиада
(С.Кузнецов) Пусть треугольники T и ABC симметричны относительно точки P. Точки A′, B′, C′ симметричны A, B, C относительно соответственных сторон T. …
Математика · ОлимпиадаЗадание №2 · Математика · Олимпиада
(S.Khalifah) В равнобокую трапецию ABCD вписана окружность, касающаяся боковой стороны AB в точке T. Отрезки TC и TD повторно пересекают эту окруж- но…
Математика · ОлимпиадаЗадание №3 · Математика · Олимпиада
(И.Кухарчук) Пусть AK –— биссектриса треугольника ABC, точка N на AC такова, …
Математика · ОлимпиадаЗадание №4 · Математика · Олимпиада
(Г.Кузнецов) В описанном четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке X. Докажите, что к вписанным окружностям треугольников ABC, BCD, AXD су…
Математика · ОлимпиадаЗадание №5 · Математика · Олимпиада
(Я.Щербатов) Точка I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Се- рединный перпендикуляр к отрезку AI пересекает сторону BC в точке D; прямая AD…
Математика · ОлимпиадаЗадание №6 · Математика · Олимпиада
(Л.Емельянов) В треугольнике ABC O — центр описанной окружности, I — центр вписанной, H — ортоцентр, N — точка Нагеля. Докажите, что IN = IH тогда и т…
Математика · ОлимпиадаЗадание №7 · Математика · Олимпиада
(А.Заславский) Сторона AB треугольника ABC касается вписанной и вневпи- санной окружностей в точках P и Q соответственно. Точка T — проекция середины …
Математика · ОлимпиадаЗадание №8 · Математика · Олимпиада
(Д.Крохалев, Г.Кузнецов, А.Коваленко) В треугольнике ABC \B = 30◦, O — центр описанной окружности, I — центр вписанной, окружности AIB, CIB пере- сека…
Математика · ОлимпиадаЗадание №1 · Математика · Олимпиада
(Д.Швецов) Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC; D — произвольная точка отрезка AC; A ,A – точки пересечения перпендикуляра, опу- …
Математика · ОлимпиадаЗадание №2 · Математика · Олимпиада
(А. Кузнецов) На плоскости даны 4 точки, не лежащие на одной окружности и такие, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Докажите, что найдется …
Математика · ОлимпиадаЗадание №3 · Математика · Олимпиада
(К.Бельский) Вневписанная окружность с центром I касается стороны BC тре- A уго…
Математика · ОлимпиадаЗадание №4 · Математика · Олимпиада
(Я.Щербатов) Пусть AL — биссектриса треугольника ABC; X — произвольная точка на внешней биссектрисе угла A; прямые BX, CX пересекают серединный перпен…
Математика · ОлимпиадаЗадание №5 · Математика · Олимпиада
(Д.Швецов) Точка M — середина катета AC прямоугольного треугольника ABC (\C = 90◦). Перпендикуляр, опущенный из точки M на биссектрису угла ABC, перес…
Математика · ОлимпиадаЗадание №6 · Математика · Олимпиада
(Л.Емельянов) Докажите, что если у треугольника одна из сторон его треуголь- ника Нагеля параллельна одной из биссектрис, то ещё одна из сторон треугольника …
Математика · ОлимпиадаЗадание №7 · Математика · Олимпиада
(Я.Щербатов) Точки I, I являются центром вписанной и A-вневписанной a окружност…
Математика · ОлимпиадаЗадание №8 · Математика · Олимпиада
(В.Конышев) Во вписанном четырехугольнике ABCD с точкой пересечения диагоналей P на отрезках AC, BD отмечены точки K и L соответственно. При этом CK =…
Математика · ОлимпиадаЗадание №9 · Математика · Олимпиада
(А.Марданов, К.Марданова) Прямая ℓ, проходящая через ортоцентр H тре- угольни…
Математика · ОлимпиадаЗадание №10 · Математика · Олимпиада
(М.Евдокимов) Из бумаги вырезан остроугольный треугольник, одна из сто- рон которого равна опущенной на нее высоте. Постройте внутри треугольника точку, …
Математика · ОлимпиадаЗадание №11 · Математика · Олимпиада
(Ф.Нилов) Через точку X проведены три луча, образующие друг с другом углы, равные 120◦. Окружность w радиуса R выбирается произвольным образом так, чт…
Математика · ОлимпиадаЗадание №12 · Математика · Олимпиада
(Л.Шатунов) Даны окружности ω и ω . Пусть M — середина отрезка, соеди- 1 2 няющег…
Математика · ОлимпиадаЗадание №13 · Математика · Олимпиада
(Б.Френкин) Дан выпуклый 2n-угольник, у которого каждые две противо- положные стороны параллельны друг другу. (Стороны противоположны, если при движен…
Математика · ОлимпиадаЗадание №14 · Математика · Олимпиада
(Л.Шатунов) На биссектрисе угла B внутри треугольника ABC отметили точку D. Пусть ω и ω — окружности, касающиеся прямых AD и CD в точке D …
Математика · ОлимпиадаЗадание №15 · Математика · Олимпиада
(А.Заславский) Точка C лежит на биссектрисе острого угла с вершиной S. Точки P, Q — проекции C на стороны угла. Окружность с центром C и радиусом PQ п…
Математика · ОлимпиадаЗадание №16 · Математика · Олимпиада
(А.Заславский) Точка Фейербаха неравнобедренного треугольника лежит на биссектрисе одного из его углов. Докажите, что она делит пополам отрезок между …
Математика · ОлимпиадаЗадание №17 · Математика · Олимпиада
(П.Пучков, Е.Уткин) Пусть O, I — центры описанной и вписанной окруж- ностей неравнобедренного остроугольного треугольника ABC; D, E, F — точки ка- …
Математика · ОлимпиадаЗадание №18 · Математика · Олимпиада
(И.Кухарчук) Дан четырехугольник ABCD. Вневписанные окружности ω 1 и ω треуголь…
Математика · ОлимпиадаЗадание №19 · Математика · Олимпиада
(С.Кузнецов) Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC; A′, B′, C′ — ортоцентры треугольников BIC, AIC, AIB; M , M , M — середины …
Математика · ОлимпиадаЗадание №20 · Математика · Олимпиада
(Ф.Ивлев) Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, а M и N — середины BC и AH соответственно. Перпендикуляр из N к прямой MH …
Математика · ОлимпиадаЗадание №21 · Математика · Олимпиада
(Г.Галяпин) Внутри четырёхугольника ABCD отметили точку P такую, что \APB + \CPD = 180◦. Точки P , P , P , P изогонально сопряжены P в треуголь- …
Математика · ОлимпиадаЗадание №22 · Математика · Олимпиада
(А.Заславский) Даны окружность и лежащий внутри нее эллипс с фоку- сами F , F . Постройте хорду окружности AB, касающуюся эллипса и такую, что 1 …
Математика · ОлимпиадаЗадание №23 · Математика · Олимпиада
(Н.Спивак) Будем говорить, что множество M точек плоскости содержит дыру, если существует круг, не содержащийся в M, но содержащийся внутри много- уго…
Математика · ОлимпиадаЗадание №24 · Математика · Олимпиада
(С.Арутюнян) Сфера, вписанная в тетраэдр ABCD, касается граней ABC, BCD, CDA, DAB в точках D′, A′, B′, C′ соответственно. Обозначим через S …
Математика · ОлимпиадаЗадание №1 · Математика · Олимпиада
Биссектрисы AI и CI пересекают описанную окружность треугольни- ка ABC в точках A , C соответственно. Описанная окружность треугольника AIC …
Математика · ОлимпиадаЗадание №2 · Математика · Олимпиада
Даны три попарно различные точки на прямой. Сколько существует равнобедренных треугольников, в которых они являются (в каком-нибудь порядке) центрами …
Математика · ОлимпиадаЗадание №3 · Математика · Олимпиада
В остроугольном треугольнике ABC точка M — середина меньшей дуги BC описанной окружности. Окружность ω касается сторон AB, AC в точках P, Q соответств…
Математика · ОлимпиадаЗадание №4 · Математика · Олимпиада
В треугольнике ABC вписанная окружность ω касается сторон BC, CA, AB в точках A , B и C соответственно, P — произвольная точка этой …
Математика · ОлимпиадаЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Точки A′, B′, C′ соответственно симметричны вершинам A, B, C отно- сительно противоположных сторон треугольника ABC. Докажите, что окружности AB′C′, A…
Математика · ОлимпиадаЗадание №6 · Математика · Олимпиада
Даны окружность ω и точки A и B на ней. Пусть C — произвольная точка на одной…
Математика · ОлимпиадаЗадание №7 · Математика · Олимпиада
Постройте вписанно-описанный четырёхугольник по двум проти- воположным вершинам и центру вписанной окружности. Решение. Пусть це…
Математика · ОлимпиадаЗадание №8 · Математика · Олимпиада
В четырехугольнике ABCD \B = \D и AD = CD. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC и AB в точках E и F соот- ветственно. Докажите,…
Математика · ОлимпиадаЗадание №9 · Математика · Олимпиада
В трапецию ABCD (AD ∥ BC) вписана окружность ω, которая касается сторон AB, BC, CD и AD в точках P, Q, R, S соответственно. Прямая, проходящая через т…
Математика · ОлимпиадаЗадание №10 · Математика · Олимпиада
Треугольник ABC вписан в окружность ω. Точка T на прямой BC выбрана так, что прямая AT касается ω. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке …
Математика · ОлимпиадаЗадание №11 · Математика · Олимпиада
В треугольнике ABC точки M, N — середины сторон AB, AC соответственно; серединный перпендикуляр к биссектрисе AL пересекает биссектри- сы углов B и C …
Математика · ОлимпиадаЗадание №12 · Математика · Олимпиада
Биссектрисы AA , CC треугольника ABC, в котором \B = 60◦, 1 1 пересекаются в точк…
Математика · ОлимпиадаЗадание №13. Верно ли, что любой многоугольник можно разрезать на равнобокие трапеции?
Верно ли, что любой многоугольник можно разрезать на рав- нобокие трапеции? Ответ. Да. …
Математика · ОлимпиадаЗадание №14 · Математика · Олимпиада
Вписанная окружность ω прямоугольного треугольника ABC ка- сается окружности, проходящей через середины его сторон, в точке F. Из середины …
Математика · ОлимпиадаЗадание №15 · Математика · Олимпиада
Разность двух углов треугольника больше 90◦. Докажите, что от- ношение радиусов его описанной и вписанной окружностей больше 4. Первое решение…
Математика · ОлимпиадаЗадание №16 · Математика · Олимпиада
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA , BB и CC . 1 1 1 Отрезки BB и A C пере…
Математика · ОлимпиадаЗадание №17 · Математика · Олимпиада
(L.Dong) Окружность ω, вписанная в неравнобедренный треугольник ABC, касается его сторон BC,CA и AB в точках D,E и F соответственно. Точка M на луче …
Математика · ОлимпиадаЗадание №18 · Математика · Олимпиада
(Д.Швецов) Пусть AA , BB , CC — высоты остроугольного треугольника 1 1 1 ABC; I — ц…
Математика · ОлимпиадаЗадание №19 · Математика · Олимпиада
(М.Евдокимов) На плоскости начерчены треугольник ABC, описанная около него окружность и центр I его вписанной окружности. Пользуясь только линейкой, п…
Математика · ОлимпиадаЗадание №20 · Математика · Олимпиада
(Л.Шатунов) Через вершины A, B, C треугольника ABC провели прямые a ,b ,c соответственно. Отразим a , b , c относительно биссектрис соответствую- 1 1…
Математика · ОлимпиадаЗадание №21 · Математика · Олимпиада
(А.Заславский) Хорда PQ окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает стороны BC, AC в точках A′, B′ соответственно. Касательные к окруж- н…
Математика · ОлимпиадаЗадание №22 · Математика · Олимпиада
(D.Reznik, А.Акопян) Дан отрезок AB. Пусть C — произвольная точка на серединном перпендикуляре к AB; O — точка на описанной окружности треуголь- ника …
Математика · ОлимпиадаЗадание №23 · Математика · Олимпиада
(И.Кухарчук) По окружности Ω движется точка P. На окружности Ω за- фиксированы точки A и B. Точка C — произвольная точка внутри круга с границей Ω. Об…
Математика · ОлимпиадаЗадание №24 · Математика · Олимпиада
(Tran Quang Hung, N.Dergiados) В пирамиде SABC все углы при вершине S прямые. Точки A′, B′, C′ на ребрах SA, SB, SC соответственно таковы, что тре- уг…
Математика · ОлимпиадаЗадание №1 · Математика · Олимпиада
.(cid:204)(cid:224)(cid:240)(cid:228)(cid:224)(cid:237)(cid:238)(cid:226)) (8) ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) L (cid:22) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(ci…
Математика · ОлимпиадаЗадание №2 · Математика · Олимпиада
(cid:238)æŒ(cid:226)Ł(cid:242)Ł(cid:237)) (8) ˜Ł(cid:224)ª(cid:238)(cid:237)(cid:224)ºŁ (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237…
Математика · ОлимпиадаЗадание №3 · Математика · Олимпиада
(cid:243)ıŁ(cid:237)) (8) ˛Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) Æ(cid:238)Œ(cid:238)(cid:226…
Математика · ОлимпиадаЗадание №4 · Математика · Олимпиада
.¨(cid:226)º(cid:229)(cid:226), (cid:192).(cid:204)(cid:224)(cid:240)(cid:228)(cid:224)(cid:237)(cid:238)(cid:226)) (8) ˝(cid:224) Æ(cid:238)Œ(cid:238)(cid:226)ßı æ(cid:2…
Математика · ОлимпиадаЗадание №5 · Математика · Олимпиада
ı(cid:224)(cid:240)(cid:247)(cid:243)Œ) (8) ˜(cid:224)(cid:237) (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßØ (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:229)ı(cid:243)…
Математика · ОлимпиадаЗадание №6 · Математика · Олимпиада
(cid:226)(cid:229)(cid:246)(cid:238)(cid:226)) (8(cid:21)9) ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) A , B , C (cid:22) (cid:238)æ(cid:237)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)Ł(cid:…
Математика · ОлимпиадаЗадание №7 · Математика · Олимпиада
(cid:236)Ł(cid:237), ¨.˚(cid:243)ı(cid:224)(cid:240)(cid:247)(cid:243)Œ) (8(cid:21)9) ˝(cid:224) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł ω (cid…
Математика · ОлимпиадаЗадание №9 · Математика · Олимпиада
.ˆ(cid:243)Æ(cid:224)(cid:237)(cid:238)(cid:226)) (8(cid:21)9) ˇ(cid:240)(cid:238) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ ABC Ł(cid:231)(cid:…
Математика · ОлимпиадаЗадание №10 · Математика · Олимпиада
Æ(cid:224)(cid:231)(cid:237)(cid:238)(cid:226)) (8(cid:21)9) ´ßæ(cid:238)(cid:242)ß BE Ł CF (cid:238)æ(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)(ci…
Математика · ОлимпиадаЗадание №11 · Математика · Олимпиада
.˚(cid:243)(cid:240)æŒŁØ) (8(cid:21)10) ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) H (cid:22) (cid:238)(cid:240)(cid:242)(cid:238)(cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) (cid:23…
Математика · ОлимпиадаЗадание №13 · Математика · Олимпиада
.(cid:204)(cid:224)(cid:240)(cid:228)(cid:224)(cid:237)(cid:238)(cid:226)) (8(cid:21)11) ´ (cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:239)(cid:229)(cid:246)ŁŁ ABCD (cid:238)æ(cid:23…
Математика · ОлимпиадаЗадание №14 · Математика · Олимпиада
.(cid:209)Œ(cid:238)(cid:239)(cid:229)(cid:237)Œ(cid:238)(cid:226)) (8(cid:21)11) ˙(cid:224)(cid:236)Œ(cid:237)(cid:243)(cid:242)(cid:224)(cid:255), (cid:226)(cid:238)(ci…
Математика · ОлимпиадаЗадание №15 · Математика · Олимпиада
.(cid:204)(cid:224)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:229)(cid:226)) (9(cid:21)10) ˜(cid:224)(cid:237) (cid:226)ß(cid:239)(cid:243)ŒºßØ (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)…
Математика · ОлимпиадаЗадание №16 · Математика · Олимпиада
(cid:230)(cid:229)(cid:226)(cid:237)ŁŒ(cid:238)(cid:226)) (9(cid:21)11) ´ (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:229) ABC (cid:239)(cid:2…
Математика · ОлимпиадаЗадание №17 · Математика · Олимпиада
(cid:224)(cid:242)(cid:243)(cid:237)(cid:238)(cid:226)) (9(cid:21)11) ˛Æø(cid:224)(cid:255) (cid:226)(cid:237)(cid:229)ł(cid:237)(cid:255)(cid:255) Œ(cid:224)æ(cid:224)(c…
Математика · ОлимпиадаЗадание №18 · Математика · Олимпиада
.˙(cid:224)æº(cid:224)(cid:226)æŒŁØ) (9(cid:21)11) ´(cid:238)ææ(cid:242)(cid:224)(cid:237)(cid:238)(cid:226)Ł(cid:242)(cid:229) (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid…
Математика · ОлимпиадаЗадание №19 · Математика · Олимпиада
.˙(cid:224)æº(cid:224)(cid:226)æŒŁØ) (10(cid:21)11) ˜(cid:224)(cid:237) (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßØ (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:4)(cid…
Математика · ОлимпиадаЗадание №20 · Математика · Олимпиада
.(cid:216)(cid:229)(cid:226)(cid:246)(cid:238)(cid:226)) (10(cid:21)11) ´ (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:229) ABC (cid:239)(cid:2…
Математика · ОлимпиадаЗадание №21 · Математика · Олимпиада
Łı(cid:224)غ(cid:238)(cid:226)) (10(cid:21)11) ˜(cid:224)(cid:237) (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßØ (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:4)(cid:229…
Математика · ОлимпиадаЗадание №22 · Математика · Олимпиада
(10(cid:21)11) ´ (cid:237)(cid:229)(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238)Æ(cid:229)(cid:228)(cid:240)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238)(cid:236) (cid:242)(cid:24…
Математика · ОлимпиадаЗадание №24 · Математика · Олимпиада
(11) ˜(cid:224)(cid:237) (cid:242)(cid:229)(cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:253)(cid:228)(cid:240) ABCD. ˇ(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:224)(cid:255) (cid:96) (cid:239)(…
Математика · ОлимпиадаЗадание №6 · Математика · Олимпиада
Решение. 2𝑃𝐺 𝑃𝐹 + 𝑃𝐺 − 𝑃𝐹 + 𝑃𝐺 𝐵𝐹 + 𝐵𝐺 − 𝐴𝐹 + 𝐴𝐺 Докажем,что𝐺𝑃 = 𝐺𝑄 = 𝐺𝑌.Имеем𝑃𝐺 = = = = 2 2 2 𝐴𝐺 + 𝐵𝐺 + 𝐴𝐵 2𝐺𝑌 = = 𝐺𝑌. Аналогично проверяем, что 𝐹𝑃 = 𝐹𝑄 = 𝐹𝑍. Рассмотрим…
Математика · ОлимпиадаЗадание №7 · Математика · Олимпиада
Решение. Лемма. 𝑎 = 𝑎 𝑎 + 𝑠𝑎 𝑎 при натуральных 𝑛 и 𝑘. 𝑛+𝑘 𝑛+1 𝑘 𝑛 𝑘−1 Доказательство: Будем действовать индукцией по 𝑘 при фиксированном 𝑛. База: 𝑘 = 1,𝑎 = 𝑎 𝑎 + 𝑠𝑎 𝑎 , ч…
Математика · ОлимпиадаЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Ответ: 𝑛2 − 𝑘2 при 𝑘 < , 2𝑘𝑛 − 𝑘2 при 𝑘 ⩾ . 2 2 Решение. 𝑛 Пусть 𝑘 < . Переставим строки и столбцы таблицы так, что закрашенный квадрат ока- 2 жется в углу. Занумеруем кл…
Математика · ОлимпиадаЗадание №9 · Математика · Олимпиада
Ответ: Да, верно. Решение. Лемма Для простого нечетного 𝑞 и положительных 𝑘 > 𝑚 выполнено равен- ство (𝑞2𝑘 + 1,𝑞2𝑚 + 1) = 2. Доказательство: Заметим (применив формулу раз…
Математика · ОлимпиадаЗадание №10 · Математика · Олимпиада
Решение. Изусловия𝑓(𝑥+𝑔(𝑓(𝑥))) = 𝑓(𝑥)следует𝑓((𝑥+𝑔(𝑓(𝑥)))+𝑔(𝑓(𝑥+𝑔(𝑓(𝑥)))) = 𝑓(𝑥+ 𝑔(𝑓(𝑥))).Тогда𝑓(𝑥+2𝑔(𝑓(𝑥))) = 𝑓(𝑥),азначитможнодалеепоказать,что𝑓(𝑥+𝑛𝑔(𝑓(𝑥))) = 𝑓(𝑥). Пус…
Математика · ОлимпиадаЗадание №2 · Математика · Олимпиада
Ответ: 𝑃(𝑥) = 2𝑡2, 𝑡 ∈ ℤ; 𝑃(𝑥) = 𝑎2𝑥, 𝑎 ∈ ℤ Решение. Имеем 𝑃(𝑥) + 𝑃(−𝑥) = 𝑘2, причем из-за непрерывности многочлена 𝑘2 будет 0 фиксированнымдлялюбого 𝑥.Аналогично 𝑃(𝑥+1)+…
Математика · ОлимпиадаЗадание №3 · Математика · Олимпиада
Решение. 1 Отразим точку 𝐴 относительно 𝑂𝐸 и 𝑂𝐹. Получим точки 𝐴′ и 𝐴″, которые лежат на опи- санной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶. Треугольники 𝐴′𝑂𝐴″ и 𝐵𝑂𝐶 равны по перво…
Математика · ОлимпиадаЗадание №4 · Математика · Олимпиада
Ответ: 36 Решение. Подсчитаемупорядоченныетройки(растопыркиитреугольники).Соднойсто- роныможновыбратьпервого12𝑘способами,адобратькнемувтройкувторогоитретьего – 3𝑘 + 6 и 3…
Математика · Олимпиада