Задание №178212: Турнир Ломоносова 2010

9. (10–11) Докажите, что два точечных объекта никогда не столкнутся,
если один из них летит по прямой с постоянной скоростью, а другой не
находится на этой прямой и всё время летит с такой же по величине
скоростью по направлению на первый объект. (Направление скорости
второго объекта всё время меняется по мере изменения положения пер-
вого объекта.)
Комментарий. Это классическая задача, но малоизвестная совре-
менным школьникам. Подробный разбор этого сюжета можно про-
читать в журнале «Квант» № 2 за 1973 год в статье «Про лису и
собаку» (стр. 39–43; электронная версия статьи опубликована по адресу
http://kvant.mccme.ru/1973/02/pro_lisu_i_sobaku.htm).
В этой статье, в частности, показано, что траектория «догоня-
ющего» объекта (названного в статье Собакой) в системе отсчёта,
43

связанной с «убегающим» объектом (в терминологии статьи это Лиса,
то есть Собака ловит Лису), является параболой (точнее, половинкой
параболы), которая не проходит через «Лису». Ну а раз объекты не
встречаются в какой-то конкретной системе отсчёта, они не встретятся
и в любой другой системе отсчёта.
Явное определение траектории движения, безусловно, является тре-
буемым доказательством, то есть решением нашей задачи. Однако в
условии от нас требуется просто доказательство отсутствия встречи.
Поэтому мы можем обойтись и без определения траектории.
Решение. Примем, как в вышеупомянутой статье, условные обо-
значения: Лиса бежит по прямой с постоянной скоростью, а Собака —
всё время по направлению на Лису с такой же по величине скоростью,
всё время меняя направление движения так, чтобы Лису всегда видеть
перед собой. С первого взгляда кажется, что действия Собаки опти-
мальны (если хочешь кого-то поймать, так и беги прямо на него!).
Но такая стратегия годится далеко не всегда. В самом деле, мы рас-
сматриваем ситуацию в какой-то системе отсчёта, выбранной по сути
дела случайно (и просто выделяющейся фактом равенства величин ско-
ростей Лисы и Собаки). Утверждение «бежать прямо на» зависит от
системы отсчёта, и в других системах отсчёта уже будет неверным.
Перейдём в (инерциальную) систему отсчёта, в которой Лиса поко-
ится. К скорости Собаки при этом добавится (в смысле сложения векто-
ров) константа — бывшая скорость Лисы, взятая с противоположным
знаком. Если в старой системе отсчёта направление скорости было «все-
гда на Лису», то в новой оно будет (учитывая постоянную добавку,
изменяющую направление суммарного вектора по сравнению с исход-
ным) «всегда мимо Лисы». Поскольку Лиса неподвижна и не сможет
«подвинуться» в нужном направлении, то может показаться, что задача
решена: имея направление скорости всегда мимо заданной точки, мы
в эту точку никогда не попадём.
На самом деле это решение нуждается в дополнительной доработке.
Например, рассмотрим движение по окружности и какую-нибудь точку
на этой окружности. До момента попадания в эту точку направление
скорости движения вдоль окружности также будет всегда мимо этой
точки, однако в заданную точку мы всё же попадём. Также к точке
можно приближаться по «бесконечно накручивающейся» спирали и т. п.
Но в нашей задаче совсем нетрудно построить более аккуратное рас-
суждение. Например, легко сообразить, что в новой системе отсчёта
Собака неизбежно окажется «сзади» Лисы. После этого вернёмся в ста-
44

рую систему отсчёта, где сразу станет очевидным, что Лису уже не
догнать — для этого Собаке потребуется пробежать больший путь, чем
пробежит Лиса за то же время, а величины их скоростей равны.