Задание №174815: Геометрия

2 Решение. Пусть O – центр сферы ω; K , L , M – основания перпендикуляров, опущенных из точки O на рёбра AS , BS , CS соответственно; SH – высота пирамиды SABC ; r и R – радиусы сфер ω и Ω соответственно. а) Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AS , она равноудалена от концов этого отрезка, т.е. OA= OS . Аналогично OB = OS и OC = OS . Значит, OA= OB = OC = OS , поэтому точка O является центром сферы Ω . Следовательно, расстояние между центрами сфер равно нулю. б) Из равенства прямоугольных треугольников SOK , SOL и SOM (OK = OL = OM = r , OS – общая сторона) следует, что SK = SL = SM . Поскольку точки K , L , M – это середины боковых рёбер пирамиды, отсюда получаем, что боковые рёбра равны между собой. Тогда высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания (действительно, ΔSHA = ΔSHB = ΔSHC по катету и гипотенузе, откуда AH = BH = CH ). Но в пирамиде OABC боковые рёбра OA, OB , OC также равны между собой как радиусы сферы Ω ; значит, и её высота, проведённая из вершины O проходит через центр окружности, описанной около основания. Таким образом, высота пирамиды SH проходит через точку O. Кроме того, точка H является центром окружности, описанной около основания. Поскольку треугольник ABC прямоугольный, H – это середина гипотенузы BC . Так как отрезок OH перпендикулярен плоскости основания, он равен радиусу r сферы ω. Для нахождения соотношения между радиусами рассмотрим прямоугольный треугольник SHC . Точка M – середина гипотенузы SC , на катете SH находится точка O, причём SO = CO = R , OH = OM = r . Треугольники CHO , CMO и SMO равны по катету и гипотенузе, следовательно, CH = CM = SM . Зна-