Задание №174970: Геометрия

3. Рассматриваются всевозможные правильные четырёхугольные пирамиды, у которых медианы боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны a. а) Найдите наибольший возможный объём рассматриваемых пирамид. б) Для пирамиды наибольшего объёма найдите угол между соседними боковыми гранями. 3 8a ⎛ 2⎞ Ответ: V = , γ= arccos⎜− ⎟. 9 3 ⎝ 3⎠ Решение. Пусть PO – высота правильной четырёхугольной пирамиды PABCD ; K – середина ребра AD . Тогда PK = a . Пусть ∠OKP =β. Тогда PO = asinβ, KO = acosβ, площадь основания 1 4a 3 ( ) S = 4a 2 cos 2 β, объём пирамиды V = ⋅4a 2 cos 2 β⋅asinβ= sinβ− sin 3 β . ABCD PABCD 3 3 Обозначим sinβ= t и рассмотрим f (t)= t − t 3, где t∈ [ 0;1 ]. f ′(t)=1− 3t 2 = 3⎜ ⎛ 1 − t⎟ ⎞ ⎜ ⎛ 1 + t⎟ ⎞ . ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ Поскольку f ′⎜ ⎛ 1 ⎟ ⎞ = 0 , f ′(t)> 0 при t < 1 и f ′(t)< 0 при t > 1 , получаем, что функция f (t) ⎝ 3 ⎠ 3 3 достигает своего наибольшего значения при t = 1 . Подставляя найденное значение sinβ в 3 3 8a формулу для объёма пирамиды, получаем V = . max 9 3 Для нахождения угла между соседними боковыми гранями пирамиды опустим перпендикуляры AH и CH из точек A и C на ребро PD. Тогда ∠AHC =γ – искомый угол. Из прямоугольного © МФТИ, 2012