Задание №174937: Уравнения

5. Последнюю цифру шестизначного числа переставили в начало (например, 123456 → 612345), и полученное шестизначное число вычли из исходного числа. Какие числа из промежутка [ 382340; 382371 ] могли получиться в результате вычитания? Ответ: 382347, 382356, 382365. Решение. Пусть ABCDEF – данное шестизначное число. Обозначим пятизначное число ABCDE через x . Тогда ABCDEF − FABCDE = (10x + F)− (100000F + x)= 9x − 99999F . Таким образом, полученная разность делится на 9. Из промежутка [ 382340; 382371 ] на 9 делятся числа 382347, 382356, 382365. Докажем, что эти числа могут быть получены в результате вычитания. Для этого надо доказать, что каждое из уравнений 9x − 99999F = 382347 , 9x − 99999F = 382356 , 9x − 99999F = 382365 имеет целочисленное решение, где x – пятизначное число, а F – однозначное число, не равное нулю. Для этого достаточно в каждом из уравнений подставить F =1 и убедиться, что получающееся значение x является пятизначным целым числом. Действительно, первому уравнению удовлетворяет пара x = 53594 , F =1; второму – пара x = 53595 , F =1; третьему – пара x = 53596 , F =1. Значит, если в качестве исходных чисел взять 535941, 535951, 535961, то в результате перестановки и вычитания мы получим числа 382347, 382356, 382365.