Задание №175800: Задание 5

5. В положении равновесия все пружины будут растянуты и смещение 100-го груза будет равно сумме удлинений всех пружин. Самая нижняя (сотая сверху пружина) растягивается массой m , 99-ая пружина растягивается массой 2 m , 98-ая – массой 3m и т.д. Поэтому по закону Гука находим величину смещения 100-го груза mg 2mg 3mg 100mg mg l    ...  1 23...100 k k k k k Используя формулу для суммы натуральных чисел от 1 до N 1  2  3  . . .  N  N  N 2  1  , получим  l  m k g 1 0 0  2 1 0 1 (*) Найдем теперь смещение 50-го груза. Проще всего это сделать так. Найти удлинение пружин от 51- ой, а потом отнять от величины l (*). Поскольку 100-ая (сверху) пружина растягивается массой m , 99-ая пружина растягивается массой 2 m , 98-ая – массой 3 m и т.д. … 51-ая - 5 0 m , то суммарное удлинение пружин с 51-ой до 100-ой равно  x  m k g  2 m k g  3 m k g  . . .  5 0 m k g  m k g  1  2  3  . . .  5 0   m k g 5 0  2 5 1 Отсюда находим смещение 50-го груза  l 1   l   x  m k g  1 0 0  2 1 0 1  5 0  2 5 1   5 0 2 m k g  2 0 2  5 1   5 0  1 5 2 1 k  m g (**) Сравнивая (*) и (**), находим  l 1  1 2 5 0 1 2  l . Критерии оценивания решений задачи (максимальная оценка за решение – 5 баллов)