Задание №171991: Геометрия

7 Ответ: a) 𝑆 = 784; б) 𝐴𝐶 = √14 . 𝐴𝐵𝐶 13 3 Решение. Так как прямые 𝑇𝐶 и 𝑇𝐴 – касательные к 𝜔, они перпендикулярны радиусам, проведённым в точки касания, и ∠𝑂𝐶𝑇 = ∠𝑂𝐴𝑇 = 90∘. Отсюда следует, что точки 𝐴 и 𝐶 лежат на окружности с диаметром 𝑂𝑇 (назовём эту окружность Ω). На этой же окружности лежит точка 𝑃, поскольку она ○c МФТИ, 2021 28 “Физтех–2021” математика. Решения, 11 класс лежит на окружности, проходящей через точки 𝐴, 𝑂, 𝐶. Обозначим ∠𝐴𝐵𝐶 = 𝛽. Тогда по свойству угла между хордой и касательной получаем, что ∠𝑇𝐴𝐶 = 𝛽. Далее, ∠𝑇𝑃𝐶 = ∠𝑇𝐴𝐶 = 𝛽 (углы, вписанные в окружность Ω). Из того, что ∠𝑇𝑃𝐶 = ∠𝐴𝐵𝐶, следует, что 𝐴𝐵 ‖ 𝑃𝑇. Так как у треугольников 𝐴𝑃𝐾 и 𝐶𝑃𝐾 общая высота, проведённая из вершины 𝑃, их площади относятся как основания, т. е. 𝐶𝐾 : 𝐴𝐾 = 𝑆 : 𝑆 = 13 : 15. Треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐾𝑃𝐶 подобны, △𝐶𝑃𝐾 △𝐴𝑃𝐾 поскольку 𝑃𝐾 ‖ 𝐴𝐵, и коэффициент подобия 𝑘 равен 𝐴𝐶 = 𝐴𝐾+𝐾𝐶 = 1 + 𝐴𝐾 = 28. Но тогда 𝑆 = 𝐶𝐾 𝐶𝐾 𝐶𝐾 13 𝐴𝐵𝐶 𝑘2 · 𝑆 = (︀28)︀2 · 13 = 784. △𝐶𝑃𝐾 13 13 б) Поскольку ∠𝐴𝐵𝐶 острый, то ∠𝐴𝑂𝐶 = 2∠𝐴𝐵𝐶 = 2𝛽 (центральный угол вдвое больше вписанного), ∠𝐴𝑃𝐶 = ∠𝐴𝑂𝐶 = 2𝛽 (вписанные в Ω углы, опирающиеся на одну дугу). Следовательно, 𝑃𝐾 – биссектриса треугольника 𝐴𝐶𝑃. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону пропорционально двум другим сторонам, поэтому 𝐶𝑃 : 𝐴𝑃 = 𝐶𝐾 : 𝐴𝐾 = 13 : 15. Пусть 𝐶𝑃 = 13𝑦; тогда 𝐴𝑃 = 15𝑦. Из дополнительного условия 𝛽 = arctg 4. Следовательно,