Задание №180761: Устная олимпиада 2024

5. (Ю. Блинков) Нарисован остроугольный неравнобедренный треугольник ABC, опи-
санная около него окружность и ее центр O. Также отмечен центр I вписанной окруж-
ности. Пользуясь только линейкой (без делений) постройте симедиану (прямую, симмет-
ричную медиане относительно соответствующей биссектрисы) треугольника, проведя
не более четырех линий.
Решение. Пусть M — середина отрезка AB, L — основание биссектрисы треугольника

ABC, проведенной из вершины C, K — вторая точка пересечения прямой CM c описанной
около треугольника ABC окружностью, W — середина дуги AB, не содержащей точку C,
N — середина дуги AB, содержащей точку C, S — точка пересечения симедианы, прове-
денной из вершины C с этой окружностью (см. рис. 8-9.5а).
Тогда ∠MCL = ∠SCL, то есть дуги W K и W S равны, а точки K и S симметричны
относительно диаметра OM, что эквивалентно симметрии лучей MC и MS относительно
прямой AB или равенству углов ∠CMB = ∠SMB.
4

Докажем, что N, L и S лежат на одной прямой. Это можно сделать по-разному.

NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC




OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS
WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW

Рис. 8–9.5а
Первый способ. Заметим, что ∠CML = ∠SML, а ∠MCL = ∠SCL, то есть L — центр
вписанной окружности треугольника MCS и SL — биссектриса угла MSC. Кроме того,
∠CMN = ∠SMW , а ∠W CN = 90◦, как опирающийся на диаметр, то есть MN и CN — бис-
сектрисы внешних углов треугольника MCS, а N — центр его вневписанной окружности.
Следовательно, SN — биссектриса угла MSC, откуда и следует искомое.

Второй способ. Пусть S — точка пересечения NL с окружностью, X — точка пересе-
1
чения NC и W S (см. рис. 8–9.5б). Докажем, что точки S и S совпадают.
1 1
NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC



OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Рис. 8–9.5б
Заметим, что ∠W CN = ∠W S N = 90◦, как опирающиеся на диаметр. Поскольку W N и
1
AB перпендикулярны, то точка L — ортоцентр треугольника W NX и точка X лежит на
прямой AB. Осталось воспользоваться тем, что высоты треугольника являются биссек-
трисами его ортотреугольника, то есть ∠CMX = ∠S MX, что и требовалось.
1
Отсюда вытекает способ построения:
1 — строим прямую CI и получаем точки W и L.
2 — строим прямую W O и получаем точку N.
3 — строим прямую NL и получаем точку S.
4 — строим искомую прямую CS.
Комментарий. Возможны и другие способы обоснования указанного построения. Например, в четырех-
угольнике ACBS биссектрисы углов C и S пересекаются на стороне AB (в точке L). В таком четырехуголь-
нике произведения противоположных сторон равны (он называется гармоническим), а диагонали являются
симедианами. Про симедиану можно прочитать, например, здесь:
https://geometry.ru/articles/symmedian$_$blinkov.pdf.
5