Задание №175375: Задание 1
1 февраля 2025 г. ______________________________________________________________________________
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 1» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада имени Леонарда Эйлера — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада имени Леонарда Эйлера — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 1» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1
S = n+(n+2)+…+(n+2k) = (n+(n+2k))(k+1)/2 = (n+k)(k+1). В обоих случаях частное S /S равно отно-
2 2 1
шению (m+1)/m двух последовательных натуральных чисел, где m = n+k–1, если выписано 2k чисел, и
m = k, если выписано 2k+1 чисел.
Допустим, нашлись такие n и k, что S = u2, S = v2, где u и v — натуральные числа. Тогда по доказан-
1 2
ному есть такое натуральное m, что (m+1)u2 = m v2 (*). Можно считать, что числа u и v взаимно про-
сты — иначе поделим u и v на их НОД, и равенство (*) сохранится. Значит, m = tu2. Число t должно
быть делителем числа m+1, и так как m и m+1 взаимно просты, то t = 1, и m = u2. Аналогично,
m+1 = v2. Но тогда v2 = u2+1, что невозможно при натуральных u и v, откуда и следует ответ. Замеча-
ние. В случае, когда выписано 2k чисел, есть более простое альтернативное доказательство. В этом
случае S = S +k. При этом S 1+…+(2k–1) = k2, то есть если S = m2, то m k. Но тогда
2 1 1 1
m2 < S = m2+k m2+m < (m+1)2, и S не может быть квадратом натурального числа.
2 2
Используемые формулы
S = n+(n+2)+…+(n+2k) = (n+(n+2k))(k+1)/2 = (n+k)(k+1).шению (m+1)/m двух последовательных натуральных чисел, где m = n+k–1, если выписано 2k чисел, иm = k, если выписано 2k+1 чисел.Допустим, нашлись такие n и k, что S = u2, S = v2, где u и v — натуральные числа.ному есть такое натуральное m, что (m+1)u2 = m v2 (*).Значит, m = tu2.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.