Задание №176265: ОММО 2016

Задача 2. В 1a классе каждого ребенка попросили написать два числа: количество его одноклассни-
ков и количество его одноклассниц (именно в таком порядке; сам себя ребенок не считает). Каждый
ребенок одно число написал правильно, а в другом ошибся ровно на 2. Среди ответов были получены
такие: (13,11), (17,11), (14,14). Сколько мальчиков и сколько девочек в классе?

Ответ: 15 мальчиков и 12 девочек.
Решение. Первое решение. Обозначим детей, давших ответы (13,11), (17,11), (14,14) через А, Б, В
соответственно. Заметим, что если в классе m мальчиков, то первое число в ответах девочек имеет
ту же чётность, что и m, а в ответах мальчиков — противоположную. Следовательно, дети А и Б

одного пола, а В — другого.
Первые числа в ответах А и Б отличаются на 4, значит, они оба неправильные. Таким образом,
количество одноклассников у А и Б равно 15, а количество одноклассниц — 11.
Если А и Б — мальчики, то в классе 16 мальчиков и 11 девочек. При этом у девочки В тогда
16 одноклассников и 10 одноклассниц, и ее ответ (14,14) противоречит условию. Значит, А и Б —

девочки, и в классе 15 мальчиков и 12 девочек.
Второе решение. Пусть какой-то ребёнок написал числа (m,d). Если бы оба числа он написал пра-
вильно, то он бы написал один из четырёх вариантов: (m − 2,d), (m + 2,d), (m,d − 2), (m,d + 2).
Тогда, если этот ребёнок — мальчик, то есть четыре варианта количества мальчиков и девочек в
классе: (m−1,d), (m+3,d), (m+1,d−2) и (m+1,d+2). Аналогично, если этот ребёнок — девочка;
возможные варианты в этом случае: (m − 2,d + 1), (m + 2,d + 1), (m,d − 1), (m,d + 3).

Таким образом, каждый из ответов даёт нам восемь вариантов, сколько мальчиков и девочек могло
быть в классе, один из которых должен быть верным:
для (13,11) это (12,11), (16,11), (14, 9), (14,13), (11,12), (15,12), (13,10), (13,14);
для (17,11) это (16,11), (20,11), (18, 9), (18,13), (15,12), (19,12), (17,10), (17,14);
для (14,14) это (13,14), (17,14), (15,12), (15,16), (12,15), (16,15), (14,13), (14,17).

Осталось заметить, что только вариант (15,12) встречается во всех трёх строчках.