Задание №175392: Геометрия
2. Три биссектрисы неравнобедреннего треугольника пересекаются в точке I. Докажите, что каждое из расстояний от точки I до вершин треугольника меньше длины средней по величине стороны треугольника.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада имени Леонарда Эйлера — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада имени Леонарда Эйлера — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. Три биссектрисы неравнобедреннего треугольника пересекаются в точке I. Докажите, что каждое из
расстояний от точки I до вершин треугольника меньше длины средней по величине стороны треугольника.
(И. Рубанов)
Решение. Пусть ABC — данный треугольник. Заметим, что AIB = 180 – A/2– B/2 = 90 + C/2. Значит, угол
AIB — тупой. Аналогично, тупыми являются углы AIC и BIC. Рассмотрим отрезок AI. Он лежит против
острых углов в тупоугольных треугольниках AIB и AIC. Поэтому он короче отрезков AB и AC, лежащих в
этих треугольниках против тупых углов. Среди этих двух отрезков есть либо средняя по величине, либо
наименьшая сторона треугольника ABC. В обоих случаях отрезок AI короче средней по величине стороны
треугольника ABC. Для отрезков BI и CI доказательство аналогично.
Используемые формулы
Заметим, что AIB = 180 – A/2– B/2 = 90 + C/2.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.