Задание №176197: ОММО 2014
Задача 2. Даны 2014 положительных чисел. Известно, что произведение любых сорока из них меньше единицы. Докажите, что произведение всех данных чисел меньше единицы.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2014» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2014
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2014
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2014» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 10. Решение. Сумма площадей поверхностей мно-
гогранников, на которые разбивается параллелепипед се-
чениями, равна сумме площади поверхности параллеле-
пипеда и площадей внутренних поверхностей. Сумма
площадей внутренних поверхностей равна удвоенной
сумме площадей сечений.
Найдем наибольшую возможную площадь сечения,
проходящего через диагональ XY произвольного парал-
лелепипеда с ребрами a ≤ b ≤ c . Сечением является па-
раллелограмм ZXTY , вершины которого лежат на противоположных ребрах параллелепипе-
да. Площадь параллелограмма равна произведению
длины диагонали XY на расстояние от точки Z до XY .
Рассмотрим проекцию параллелепипеда на плос-
кость, перпендикулярную диагонали XY . На рисунке
видно, что расстояние от точки Z ломаной ABC до
точки Y , то есть до диагонали XY , наибольшее, если
Z совпадает с одной из вершин A,B или С .
Значит, сече-
ние проходит через
одно из ребер параллелепипеда. Таким образом, наиболь-
шую площадь имеет одно из диагональных сечений. Все
эти сечения являются прямоугольниками. Найдем
наибольшую из их площадей
S = a b2 +c2 , S = b a2 +c2 и S = c b2 +a2 .
1 2 3
Из условия a ≤ b ≤ c следует, что,
a2b2 +≤a+2c2 c2b2 a2c2, и a2b2 +≤c+2b2 c2b2 a2c2. Поэто-
му S ≤ S и S ≤ S . Значит, наибольшую площадь имеет
1 3 2 3
сечение, проходящее через наибольшее ребро.
По условию наибольшую длину имеет ребро AB ,
значит, наибольшую площадь, равную 20 52 +122 = 260
имеют сечения ABC D и B ADC . Сумма площадей поверхностей многогранников, на кото-
1 1 1 1
рые разбивается параллелепипед этими сечениями (см. рисунок), равна
2(AA ⋅+A⋅B+⋅ ⋅A+=A AD AB AD) 4 260 1840.
1 1
Ответ: 1840.
Страница олимпиады: http://olimpiada.ru/ommo 4
Используемые формулы
S = a b2 +c2 , S = b a2 +c2 и S = c b2 +a2 .значит, наибольшую площадь, равную 20 52 +122 = 2602(AA ⋅+A⋅B+⋅ ⋅A+=A AD AB AD) 4 260 1840.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.