Задание №180545: Устная олимпиада 2024
2. Расстояния и высоты. В остроугольном треугольнике ABC высота BH вдвое больше расстояния от H до BC. Докажите, что высота AK вдвое больше расстояния от K до AC.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Устная олимпиада 2024» и рассчитано на уровень 7 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Устная олимпиада 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. Расстояния и высоты. В остроугольном треугольнике ABC высота BH вдвое
больше расстояния от H до BC. Докажите, что высота AK вдвое больше расстояния от K
до AC.
Фольклор
Решение. Пусть основания перпендикуляров из H на
Рис. 1
BC и из K на AC – это точки P и Q соответственно (см.
рис. 1). Тогда BPH – прямоугольный треугольник с катетом
НР, который вдвое меньше гипотенузы ВН. Значит, ∠HBP
= 30°, тогда ∠BСА = 60°. Из прямоугольного треугольника
KAC получим, что ∠KAQ = 30°. Следовательно, в
прямоугольном треугольнике AKQ катет KQ вдвое меньше
гипотенузы AK.
Отметим, что для тупоугольного треугольника
утверждение остаётся верным и рассуждения аналогичны.
Используемые формулы
= 30°, тогда ∠BСА = 60°.KAC получим, что ∠KAQ = 30°.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.