Задание №180918: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023
Окружность касается боковых сторон трапеции ABCD в точках B и C, а её центр лежит на AD. Докажите, что диаметр окружности меньше средней линии трапеции.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2023
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2023
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(cid:243)ıŁ(cid:237)) (8) ˛Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) Æ(cid:238)Œ(cid:238)(cid:226)ßı æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237) (cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:239)(cid:229)(cid:246)ŁŁ ABCD (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı B
Ł C, (cid:224) (cid:229)… (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) AD. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:228)Ł(cid:224)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:236)(cid:229)(cid:237)(cid:252)ł(cid:229) æ(cid:240)(cid:229)(cid:228)(cid:237)(cid:229)Ø
ºŁ(cid:237)ŁŁ (cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:239)(cid:229)(cid:246)ŁŁ.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) O (cid:22) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł; EF (cid:22) (cid:229)(cid:4)(cid:229) (cid:228)Ł(cid:224)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240), º(cid:229)(cid:230)(cid:224)øŁØ (cid:237)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø
AD; G, H (cid:22) (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:229)Œ(cid:246)ŁŁ B Ł C (cid:237)(cid:224) AD. (cid:210)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ (cid:228)(cid:243)ªŁ BE Ł CF (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)ß, (cid:242)(cid:238) ∠ABG =
∠DCH, (cid:242).(cid:229). AG = DH Ł (cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:239)(cid:229)(cid:246)Ł(cid:255) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238)Æ(cid:238)Œ(cid:224)(cid:255). (cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), (cid:229)(cid:229) æ(cid:240)(cid:229)(cid:228)(cid:237)(cid:255)(cid:255) ºŁ(cid:237)Ł(cid:255)
(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:224) AH = EH +AE = EH +OA−OB. ˝(cid:238) Ł(cid:231) (cid:239)(cid:238)(cid:228)(cid:238)ÆŁ(cid:255) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:238)(cid:226) OAB Ł OBG
(cid:239)(cid:238)º(cid:243)(cid:247)(cid:224)(cid:229)(cid:236), (cid:247)(cid:242)(cid:238) OA − OB > OB − OG = GE = HF, (cid:231)(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242) AH > EH + HF = EF
((cid:240)Łæ.3).
B C
A D
E G O H F
—Łæ. 3.
Используемые формулы
(cid:210)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ (cid:228)(cid:243)ªŁ BE Ł CF (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)ß, (cid:242)(cid:238) ∠ABG =AG = DH Ł (cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:239)(cid:229)(cid:246)Ł(cid:255) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238)Æ(cid:238)Œ(cid:224)(cid:255).(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:224) AH = EH +AE = EH +OA−OB.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.