Задание №175373: Задание 4
4. В каждой клетке доски 2×200 лежит по рублёвой монете. Даша и Соня играют, делая ходы по очереди, начинает Даша. За один ход можно выбрать любую монету и передвинуть её: Даша двигает монету на соседнюю по диагонали клетку, Соня — на соседнюю по стороне. Если две монеты оказываются в одной клетке, одна из них тут же снимается с доски и достаётся Соне. Соня может остановить игру в любой момент и забрать все полученные деньги. Какой наибольший выигрыш она может получить, как бы ни играла Даша?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 4» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада имени Леонарда Эйлера — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада имени Леонарда Эйлера — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 4» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
4. В каждой клетке доски 2×200 лежит по рублёвой монете. Даша и Соня играют, делая ходы по оче-
реди, начинает Даша. За один ход можно выбрать любую монету и передвинуть её: Даша двигает
монету на соседнюю по диагонали клетку, Соня — на соседнюю по стороне. Если две монеты оказы-
ваются в одной клетке, одна из них тут же снимается с доски и достаётся Соне. Соня может оста-
новить игру в любой момент и забрать все полученные деньги. Какой наибольший выигрыш она мо-
жет получить, как бы ни играла Даша? (А. Кузнецов)
Ответ. 300 рублей. Решение. Разобьём доску на 100 квадратов 22. Если перед ходом Сони на доске
есть хотя бы 101 монета, то найдется квадрат, в котором лежат хотя бы две монеты. Если они в со-
седних клетках, Соня своим ходом ставит одну из них в клетку с другой и забирает монету. В про-
тивном случае Соня сдвигает одну из монет в клетку, находящуюся в том же столбце, что и вторая
монета, а после следующего хода Даши ставит эту монету в одну клетку со второй и также забирает
монету. Действуя таким образом, Соня может забрать с доски по крайней мере 300 монет.
Покажем, что Даша может помешать Соне забрать с доски больше 300 монет. Пусть она отметит в
каждом из описанных выше квадратов 22 левую нижнюю монету. Покажем, как ей играть, чтобы
никакие две отмеченные монеты не оказывались в одной клетке — тогда всякий раз можно считать,
что все 100 отмеченных монет остаются на доске. Если Соня подвинула отмеченную монету из ее
исходного столбца, Даша подвинет эту монету обратно в исходный столбец. В противном же случае
она двигает крайнюю правую отмеченную монету между двумя крайними спра-
ва столбцами.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.