Задание №174958: Уравнения

5. Последнюю цифру шестизначного числа переставили в начало (например, 123456 → 612345), и полученное шестизначное число вычли из исходного числа. Какие числа из промежутка [ 584548; 584570 ] могли получиться в результате вычитания? Ответ: 584550, 584559, 584568. Решение. Пусть ABCDEF – данное шестизначное число. Обозначим пятизначное число ABCDE через x . Тогда ABCDEF − FABCDE = (10x + F)− (100000F + x)= 9x − 99999F . Таким образом, полученная разность делится на 9. Из промежутка [ 584548; 584570 ] на 9 делятся числа 584550, 584559, 584568. Докажем, что эти числа могут быть получены в результате вычитания. Для этого надо доказать, что каждое из уравнений 9x − 99999F = 584550 , 9x − 99999F = 584559 , 9x − 99999F = 584568 имеет целочисленное решение, где x – пятизначное число, а F – однозначное число, не равное нулю. Для этого достаточно в каждом из уравнений подставить F =1 и убедиться, что получающееся значение x является пятизначным целым числом. Действительно, первому уравнению удовлетворяет пара x = 76061, F =1; второму – пара x = 76062 , F =1; третьему – пара x = 76063 , F =1. Значит, если в качестве исходных чисел взять 760611, 760621, 760631, то в результате перестановки и вычитания мы получим числа 584550, 584559, 584568.