Задание №175331: Геометрия

5. Дан выпуклый четырёхугольник с двумя острыми и одним тупым углами. Одна из диагона-
лей разбивает его на равносторонний и равнобедренный треугольники. Какими могут быть
углы четырёхугольника? Найдите все варианты и докажите, что других нет. ( П. Д. Муленко)

Ответ: Существует один такой четырёхугольник с углами 60◦, 75◦, 90◦ и 135◦.
Решение. В выпуклом четырёхугольнике 4 угла. Если из них три являются тупым и острыми,
то последний угол прямой. Более того, раз половинкой 4-угольника является равносторонний
треугольник, то один из острых углов равен 60◦. Нарисуем равносторонний треугольник 𝐴𝐵𝐶

и посмотрим, как к нему можно пририсовать равнобедренный треугольник.











Если сторона равностороннего треугольника 𝐴𝐵 равна основанию равнобедренного (то есть в
равнобедренном треугольнике 𝐴𝐶𝐷 𝐴𝐷 = 𝐷𝐶, см. рис. слева), то углы 𝐵𝐴𝐷 и 𝐵𝐶𝐷 будут рав-

ны, что не сходится с условием (∠𝐴𝐵𝐶 = 60◦, значит, остальные три угла четырёхугольника
должны быть острым, тупым и прямым).
Значит, сторона 𝐴𝐶 равностороннего является боковой стороной равнобедренного (𝐴𝐶 = 𝐶𝐷).
Угол 𝐷 не может быть прямым (так как этот угол является углом при основании в равнобед-
ренном треугольнике), значит, прямым углом является 𝐵𝐴𝐷 или 𝐵𝐶𝐷.

Если ∠𝐵𝐴𝐷 = 90◦, тогда ∠𝐶𝐴𝐷 = 90◦ − 60◦ = 30◦, и ∠𝐴𝐶𝐷 = 180◦ − 2 · 30◦ = 120◦, но тогда 𝐴𝐵𝐶𝐷
является треугольником, а не четырёхугольником (так как ∠𝐵𝐶𝐷 = 180◦ — см. рис. справа).
Значит, ∠𝐵𝐶𝐷 = 90◦, тогда ∠𝐴𝐶𝐷 = 30◦, и ∠𝐶𝐴𝐷 = ∠𝐴𝐷𝐶 = 75◦.
Итого, углы четырёхугольника равны 60◦, 90◦, 75◦ и 135◦ (см. рис. в центре).

Критерии. Найден прямой угол — +1 балл.
Найден угол в 60◦ — +1 балл.
Не рассмотрен вырожденный случай с углом в 180◦ (правый рисунок) — −1 балл.

Не рассмотрен случай, когда четырёхугольник является дельтоидом (левый рисунок) — −2 балла.