Задание №176648: ОММО 2025
Задача 5. Решите систему уравнений 4 1 1 + + = 4 x2 y2 z2 x2 + y2 + 9z2 = 9 √ √ x + 2 6y − 6z = 6.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2025» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 4.
В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90◦) медиана AM
пересекает биссектрису BN в точке K. Известно, что BK = 6,
KN = 4. Найдите площадь треугольника ABC.
√ N
75 3
Ответ:
2 4 6
K
Решение. Выберем точку L на медиане AM так, что NL (cid:107) BC.
Треугольники NLK и BMK подобны, а значит NL : BM = 2 : 3.
C M B
Точка M — середина стороны BC, поэтому BM = CM и, следо-
вательно, NL : CM = 2 : 3.
A
Из подобия треугольников ANL и ACM следует, что и AN :
AC = 2 : 3, а значит AN : NC = 2 : 1. Точка N — основание
биссектрисы, и значит AB : CB тоже равно 2 : 1.
Решение 1. Если BC = x, то AB = 2x, AC2 = AB2 − BC2 = 10
3x2, NC = AC = √x . Из теоремы Пифагора для треугольника
3 3 N 2CM L
BNC получаем 3
x2 √ 5 4 K 6
100 = + x2 ⇒ x = 5 3,
3
√ √ C 1·5 √ 3 M 1·5 √ 3 B
BC = x = 5 3, AC = 3x = 15, 2 2
√
1 75 3
S = AC · BC =
ABC
2 2
Решение 2. Из AB : CB = 2 : 1 следует что ∠B = 60◦. Теперь легко найти все длины.
Поскольку ∠NBC = 1∠B = 30◦, катет N вдвое меньше гипотенузы BN = 4 + 6 = 10. Отсюда
2 √ √
NC = 10 = 5, AN = 2 · NC = 10 и AC = 10 + 10 = 15 и BC = 3 · NC = 5 3. Наконец,
2 2
√
1 1 √ 75 3
S = · AC · BC = · 15 · 5 3 =
ABC
2 2 2
Используемые формулы
В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90◦) медиана AMИзвестно, что BK = 6,KN = 4.√ NТреугольники NLK и BMK подобны, а значит NL : BM = 2 : 3.Точка M — середина стороны BC, поэтому BM = CM и, следо-
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.