Задание №174664: Уравнения

7. Даны пирамида ABCD и сфера. Ребро AC пирамиды является диаметром сферы; прямые, содержащие три других ребра, касаются сферы, а середины двух оставшихся рёбер лежат на сфере. Найдите угол ABC , длину ребра BD и объём пирамиды ABCD, если AC  6. Ответ. ABC  45 , BD 12, V 18 3 . Решение. Предположим, что сфера касается прямых AB и AD . Тогда AC перпендикулярно плоскости ABD , поэтому сфера имеет единственную общую точку A с плоскостью ABD , и значит, не имеет общих точек с ребром BD . С прямыми CA, CB, CD сфера будет иметь по две точки пересечения, что противоречит условию. Аналогично доказывается, что сфера не может касаться одновременно рёбер BC и CD. Значит, сфера касается ровно одной из двух прямых AB или AD – пусть, для определённости, ребра AD . Тогда сфера также касается прямых BC и BD и проходит через середины K и L рёбер AB и CD соответственно. Из касания сферы с прямой BC следует, что BC  AC . Так как OK – средняя линия треугольника ABC , то BC  2OK  2R  AC , откуда вытекает, что ABC – прямоугольный равнобедренный треугольник и ACB  45  . Аналогично доказывается, что ACD – равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой CD. Пусть M – точка касания сферы с ребром BD . Треугольник BDO– равнобедренный (т.к. отрезки BO и DO – это соответствующие медианы равных треугольников BAC и DAC ), OM – его высота, а значит, и медиана. Из равенства треугольников COB и MOB получаем, что CM CB  2R , следовательно, CD  4R 12. Опустим из вершины D высоту DH на плоскость ABC . Тогда точка H лежит на прямой, проходящей через точку A параллельно CB. Пусть DH  h , AH  x . По теореме Пифагора из треугольников ADH и BDH получаем x 2  h 2  4R 2, x  2R2  2R2  h 2  4R2. Решая эти уравнения, находим, что x  R , h  R 3 . 3 1 2R Тогда объём V пирамиды ABCD равен  R 3  2R 2  18 3 . 3 3 12 © МФТИ, 2014 Решения олимпиады “Физтех–2014”, билет 5 2x 3  3xy  3y 2 16,