Задание №180749: Устная олимпиада 2023
5. Высоты BB и CC остроугольного треугольника ABC пе- 5. Высоты BB и CC остроугольного треугольника ABC пе- 1 1 1 1 ресекаются в точке H, ∠A = 60◦, AB < AC, медиана AM ресекаются в точке H, ∠A = 60◦, AB < AC, медиана AM пересекает описанную окружность треугольника ABC вторичпересекает описанную окружность треугольника ABC вторично в точке K; L — середина дуги BC описанной окружноно в точке K; L — середина дуги BC описанной окружности, не содержащей точку A; прямые B C и BC пересекаются сти, не содержащей точку A; прямые B C и BC пересекаются 1 1 1 1 в точке E. Докажите, что ∠EHL = ∠ABK. в точке E. Докажите, что ∠EHL = ∠ABK.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Устная олимпиада 2023». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- пошаговое рассуждение
- проверка результата
Источник: Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив · 2023
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2023
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Устная олимпиада 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Геометрия». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
4. (Г. Забазнов) Пусть I — центр вписанной окружности w треугольника ABC, касаю-
щейся сторон AB и AC в точках E и F соответственно. Прямые, проходящие через E и F
параллельно AI, пересекают прямые BI и CI в точках P и Q соответственно. Докажите,
что центр окружности, описанной около треугольника IPQ, лежит на прямой BC.
Решение. Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника PIQ, R — точка
касания w со стороной BC (см. рис. 8.9–4). Докажем, что точка O лежит на окружности,
описанной около треугольника PRQ. Пусть ∠BAC = 2α, тогда ∠PIQ = ∠BIC = 90◦ + α, то
есть ∠POQ = 2(180◦−∠PIQ) = 180◦−2α. Кроме того, в силу симметрии и параллельности,
∠PRB = ∠PEB = ∠IAB = ∠IAC = ∠QFC = ∠QRC = α, то есть ∠PRQ = 180◦ − 2α = ∠POQ,
откуда и следует искомое. Заметим, что прямая BC содержит биссектрису внешнего угла
R треугольника PRQ. Тогда эта прямая повторно пересекает описанную окружность тре-
угольника PRQ в середине дуги PRQ, то есть в точке, равноудаленной от P и Q. Но точка
O также лежит на этой окружности, равноудалена от P и Q и лежит с точкой R в одной
полуплоскости относительно прямой PQ. Следовательно, O — середина дуги PRQ и лежит
на отрезке BC, что и требовалось.
2
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF
PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
Рис. 8–9.4
Используемые формулы
Пусть ∠BAC = 2α, тогда ∠PIQ = ∠BIC = 90◦ + α, тоесть ∠POQ = 2(180◦−∠PIQ) = 180◦−2α.∠PRB = ∠PEB = ∠IAB = ∠IAC = ∠QFC = ∠QRC = α, то есть ∠PRQ = 180◦ − 2α = ∠POQ,
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Пропустить часть условия.
- Сделать вывод без проверки промежуточного шага.
- Записать только ответ без объяснения.