Задание №180754: Устная олимпиада 2023
4. Дан равногранный тетрадр PABC (грани — равные тре- 4. Дан равногранный тетрадр PABC (грани — равные треугольники). Пусть A , B и C — точки касания окружноугольники). Пусть A , B и C — точки касания окружно- 0 0 0 0 0 0 сти, вписанной в треугольник ABC со сторонами BC, AC и AB сти, вписанной в треугольник ABC со сторонами BC, AC и AB соответственно; A , B и C — точки касания вневписанных соответственно; A , B и C — точки касания вневписанных 1 1 1 1 1 1 окружностей треугольников PCA, PAB и PBC с продолжениокружностей треугольников PCA, PAB и PBC с продолжениями сторон PA, PB и PC соответственно (за точки A, B, C). ями сторон PA, PB и PC соответственно (за точки A, B, C). Докажите, что прямые A A , B B и C C пересекаются в од- Докажите, что прямые A A , B B и C C пересекаются в од- 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ной точке. ной точке. 10–11 класс 10–11 класс
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Устная олимпиада 2023» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- пошаговое рассуждение
- проверка результата
Источник: Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив · 2023
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2023
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Устная олимпиада 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Геометрия». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
6. (И. Кухарчук) Дана окружность Ω, касающаяся стороны AB угла BAC и лежащая вне
этого угла. Рассматриваются окружности w, вписанные в угол BAC. Общая внутренняя
касательная к Ω и w, отличная от AB, касается w в точке K. Пусть L — точка касания
w и AC. Докажите, что все такие прямые KL проходят через фиксированную точку, не
зависящую от выбора окружности w.
Решение. Пусть O — центр окружности Ω, P — точка касания Ω и стороны AB, E
и X — точки пересечения общей внутренней касательной к Ω и w с прямыми AB и AC
соответственно, Q — точка касания с Ω касательной, параллельной AC, A — точка пе-
1
ресечения этой касательной с лучом AB. Рассмотрим случай, при котором окружность w
вписана в треугольник AXE (см. рис. 8.9–6а). Случай, при котором w является вневпи-
санной окружностью этого треугольника, разбирается аналогично.
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ
OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ
Рис. 8–9.6а
Достаточно будет доказать, что прямые KL и PQ пересекаются в точке R, лежащей на
окружности s, построенной на AO, как на диаметре. Действительно, поскольку прямая
PQ и окружность s — фиксированы, то фиксировано и их пересечение, то есть точка,
лежащая на прямой KL.
Воспользуемся следующим фактом (см. рис. 8–9.6б).
Пусть M и N — точки касания вписанной окружности со сторонами BC и BA треуголь-
ника ABC, K — точка пересечения биссектрисы угла A с прямой MN. Тогда ∠AKC = 90◦.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
Рис. 8–9.6б
5
В данном случае, прямая KL пересекается с биссектрисой угла E в такой точке N,
что ∠ANE = 90◦, то есть в точке, лежащей на окружности s. Докажем, что ∠PRN =
= 180◦ − ∠NAP = 90◦ + 0,5∠XEA.
Заметим, что LK и PQ перпендикулярны биссектрисам углов X и A , то есть биссек-
1
трисам углов X и A треугольника AXE, в силу параллельности биссектрис углов A и A .
1
Осталось заметить, что угол между биссектрисами этих углов равен 90◦ + 0,5∠XEA.
Комментарии.
Используемые формулы
Тогда ∠AKC = 90◦.что ∠ANE = 90◦, то есть в точке, лежащей на окружности s.Докажем, что ∠PRN == 180◦ − ∠NAP = 90◦ + 0,5∠XEA.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Пропустить часть условия.
- Сделать вывод без проверки промежуточного шага.
- Записать только ответ без объяснения.