Задание №180758: Устная олимпиада 2024
2. В треугольнике ABC провели биссектрису BL. Пусть точ- 2. В треугольнике ABC провели биссектрису BL. Пусть точки I и I — центры окружностей, вписанных в треугольники ки I и I — центры окружностей, вписанных в треугольники 1 2 1 2 ABL и CBL, а точки J и J — центры вневписанных окружно- ABL и CBL, а точки J и J — центры вневписанных окружно- 1 2 1 2 стей этих треугольников, касающихся стороны BL. Докажите, стей этих треугольников, касающихся стороны BL. Докажите, что точки I , I , J и J лежат на одной окружности. что точки I , I , J и J лежат на одной окружности. 1 2 1 2 1 2 1 2
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Устная олимпиада 2024». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- пошаговое рассуждение
- проверка результата
Источник: Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Устная олимпиада 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Геометрия». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. (Д. Прокопенко) В треугольнике ABC провели биссектрису BL. Пусть точки I и I —
1 2
центры окружностей, вписанных в треугольники ABL и CBL, а точки J и J — центры
1 2
вневписанных окружностей этих треугольников, касающихся стороны BL. Докажите, что
точки I , I , J и J лежат на одной окружности.
1 2 1 2
Решение. Заметим, что точка J лежит на биссектрисе угла A и внешнего угла L тре-
1
угольника ABL (см. рис. 8–9.2). Следовательно, точки A, I и J лежат на одной прямой, и
1 1
точки L, I и J также лежат на одной прямой. Аналогично с точками C, I и J и точками
2 1 2 2
L, I и J .
1 2
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222 ββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββ ββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββ
JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
Рис. 8–9.2
Докажем, что ∠J I J = ∠J I J , откуда и будет следовать утверждение задачи.
1 1 2 1 2 2
Пусть ∠ABC = 2β. Тогда ∠AI L = 90◦ + 0,5β как угол между биссектрисами треуголь-
1
ника ABL с углом β при вершине B. Аналогично, ∠CI L = 90◦ + 0,5β. Осталось воспользо-
2
ваться равенством вертикальных углов.
Комментарий. Прямые AI и CI . пересекаются в центре вписанной окружности треугольника ABC,
1 2
то есть на биссектрисе BL.
Используемые формулы
Докажем, что ∠J I J = ∠J I J , откуда и будет следовать утверждение задачи.Пусть ∠ABC = 2β.Тогда ∠AI L = 90◦ + 0,5β как угол между биссектрисами треуголь-Аналогично, ∠CI L = 90◦ + 0,5β.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Пропустить часть условия.
- Сделать вывод без проверки промежуточного шага.
- Записать только ответ без объяснения.