Задание №180759: Устная олимпиада 2024
3. Внутри квадрата ABCD на стороне AB построен равносто- 3. Внутри квадрата ABCD на стороне AB построен равносторонний треугольник ABE, а на диагонали AC — равносторонронний треугольник ABE, а на диагонали AC — равносторонний треугольник AFC (D — внутри этого треугольника). Отрений треугольник AFC (D — внутри этого треугольника). Отрезок EF пересекает CD в точке P. Докажите, что прямые AP, BE зок EF пересекает CD в точке P. Докажите, что прямые AP, BE и CF пересекаются в одной точке. и CF пересекаются в одной точке.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Устная олимпиада 2024». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- пошаговое рассуждение
- проверка результата
Источник: Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Устная олимпиада 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Геометрия». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
3. (И. Русских) Внутри квадрата ABCD на стороне AB построен равносторонний тре-
угольник ABE, а на диагонали AC — равносторонний треугольник AFC (D — внутри этого
треугольника). Отрезок EF пересекает CD в точке P. Докажите, что прямые AP, BE и CF
пересекаются в одной точке.
Решение. Докажем, что прямые AP и BE проходят через середину X отрезка CF
(см. рис. 8–9.3).
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD
FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF
Рис. 8–9.3
Для доказательства того, что прямая AP проходит через точку X достаточно показать,
что точки D и E симметричны относительно высоты равностороннего треугольника AFC,
проведенной из вершины A, то есть равенство треугольников ADC и AEF.
2
Это можно сделать, например, так.
∠FAD = ∠FAC−∠DAC = ∠EAB−∠CAB = ∠CAE = 15◦. Кроме того, AF = AC и AD = AE,
откуда и следует искомое.
Докажем, что прямая BE проходит через точку X. Возможны различные способы рас-
суждения.
Первый способ. Пусть O — середина AC, тогда треугольник COX — равнобедренный с
углом 60◦, то есть равносторонний. Следовательно, BO = OX, то есть треугольник BOX
также равнобедренный, причем ∠BOX = 60◦ + 90◦ = 150◦, откуда ∠OBX = 15◦. Тогда
∠ABX = 45◦ + 15◦ = 60◦, а точка X лежит на прямой BE, что и требовалось.
Второй способ. Поскольку ∠AEF = ∠ADC = 90◦, то достаточно доказать, что ∠XEF =
= 30◦. Заметим, что точки F, X, E и A лежат на одной окружности с диаметром AF.
Следовательно, ∠XEF = ∠XAF = 0,5∠FAC = 30◦, что и требовалось.
Комментарий 1. Можно было использовать окружность с диаметром AC, на которой лежат точки X и B,
и равенство вписанных углов ∠XBA = ∠XCA.
Комментарий 2. Также можно было доказать, что P — центр вписанной окружности треугольника FCY,
а E — центр вневписанной окружности треугольника FXY, где Y — центр равностороннего треугольника
AFC. Отсюда следует, что ∠XPE = 105◦, а ∠AXE = 45◦, откуда ∠XEF = 30◦.
Используемые формулы
∠FAD = ∠FAC−∠DAC = ∠EAB−∠CAB = ∠CAE = 15◦.Кроме того, AF = AC и AD = AE,Следовательно, BO = OX, то есть треугольник BOXтакже равнобедренный, причем ∠BOX = 60◦ + 90◦ = 150◦, откуда ∠OBX = 15◦.∠ABX = 45◦ + 15◦ = 60◦, а точка X лежит на прямой BE, что и требовалось.Поскольку ∠AEF = ∠ADC = 90◦, то достаточно доказать, что ∠XEF =
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Пропустить часть условия.
- Сделать вывод без проверки промежуточного шага.
- Записать только ответ без объяснения.