Задание №178142: Турнир Ломоносова 2009
6. (10–11) Имеются два одинаковых незаряженных конденсатора и бата рейка с ЭДС 𝑈. Из них разрешается собирать любые электрические схемы, и повторять сборку и разборку много раз. Как это не удиви тельно, с помощью последовательности таких действий можно зарядить один из конденсаторов до напряжения, сколь угодно мало отличающе гося от 2𝑈. Как именно это нужно делать? Почему это приведёт к нужному результату?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир Ломоносова 2009» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- построение модели
- применение физических законов
- проверка единиц измерения
Источник: Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив · 2009
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2009
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир Ломоносова 2009» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Физика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
6. (10–11) Имеются два одинаковых незаряженных конденсатора и
батарейка с ЭДС 𝑈. Из них разрешается собирать любые электрические
схемы, и повторять сборку и разборку много раз. Как это не удиви
тельно, с помощью последовательности таких действий можно зарядить
один из конденсаторов до напряжения, сколь угодно мало отличающе
гося от 2𝑈. Как именно это нужно делать? Почему это приведёт к
нужному результату?
Решение. Основная идея понятна. Заряжаем один конденсатор от
батарейки до напряжения 𝑈. Затем включаем заряженный конденса
тор последовательно с батарейкой, получается «батарейка» с напряже
нием 2𝑈.
Теперь заряжаем от этой «батарейки» второй конденсатор. При
этом, если ранее этот конденсатор был заряжен до напряжения менее 2𝑈,
«батарейка» частично «разрядится» (за счёт разряда входящего в её
состав конденсатора), её напряжение станет меньше 2𝑈. А напряжение
на конденсаторе, наоборот, увеличится.
Теперь опять «сконструируем» батарейку с напряжением 2𝑈 и ещё
подзарядим конденсатор.
Будем повторять описанный процесс многократно. После каждого
раза напряжение на заряжаемом конденсаторе будет всё меньше и
меньше отличаться от 2𝑈.
Теперь посчитаем всё аккуратно.
Имеется батарейка с ЭДС 𝑈 и конденсатор C1 ёмкостью 𝐶, заряжен
ный до напряжения 𝑈 и подсоединённый к батарейке последовательно
(с соблюдением полярности, то есть между свободными выводами бата
рейки и конденсатора напряжение 2𝑈).
53
Подсоединяем к этим свободным выводам конденсатор C2 ёмкости
𝐶, уже заряженный до напряжения 𝑈 0 < 2𝑈 (полярность соединения
обратная, такая, чтобы конденсатор дополнительно подзарядить).
− C1 − C1
− + 𝐶,𝑈 𝑈 2𝑈 C 𝐶 2 ,𝑈 0 + − − + 𝐶, 𝑈 1 2 𝑈 0 𝐶, 𝑈+ C 1 2 2 𝑈 0 + −
+ +
Обозначим заряды, которые установятся на конденсаторах в собран
ной цепи после перераспределения и установления равновесия, 𝑞 1 и 𝑞 2
соответственно.
Первоначально конденсаторы имели заряды 𝐶𝑈 и 𝐶𝑈 0. Сумма этих
зарядов сохранится, так как в схеме есть изолированный участок, содер
жащий обкладки двух конденсаторов с суммарным зарядом 𝐶𝑈 + 𝐶𝑈 0.
Отсюда получаем уравнение
𝑞 + 𝑞 = 𝐶𝑈 + 𝐶𝑈
2 1 0
Напряжения на конденсаторах выражаются через заряды: 𝑞 1 /𝐶 и
𝑞 2 /𝐶. Разность этих напряжений должна компенсировать ЭДС бата
𝑞 𝑞
рейки 𝑈: 2 1 = 𝑈, то есть
𝐶 − 𝐶
𝑞 𝑞 = 𝐶𝑈
2 1
−
Складываем полученные уравнения:
2𝑞 = 2𝐶𝑈 + 𝐶𝑈
2 0
Отсюда
𝑞 1
2 = 𝑈 + 𝑈 ,
𝐶 2 0
а это и есть установившееся напряжение на конденсаторе C2.
После повторения описанного действия ещё раз (с исходным напря
жением 𝑈 + 1 2 𝑈 0 на конденсаторе С2) мы получим напряжение
(︂ )︂
1 1 1 1
𝑈 + 𝑈 + 𝑈 = 𝑈 + 𝑈 + 𝑈
0 0
2 2 2 4
54
На следующей итерации:
1 1 1
𝑈 + 𝑈 + 𝑈 + 𝑈
0
2 4 8
и т. д.
Нетрудно понять, что в конце концов (после бесконечного количе
ства повторений описанной операции) конденсатор C2 окажется заря
женным до напряжения 2𝑈.
Используемые формулы
𝑞 + 𝑞 = 𝐶𝑈 + 𝐶𝑈рейки 𝑈: 2 1 = 𝑈, то есть𝑞 𝑞 = 𝐶𝑈2𝑞 = 2𝐶𝑈 + 𝐶𝑈2 = 𝑈 + 𝑈 ,𝑈 + 𝑈 + 𝑈 = 𝑈 + 𝑈 + 𝑈
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Пропустить часть условия.
- Сделать вывод без проверки промежуточного шага.
- Записать только ответ без объяснения.