Задание №178318: Турнир Ломоносова 2012

3) Разрешим для каждого квадрата с зарядами только поворот квад
рата целиком вокруг оси, проходящей через центры этих двух квадра
тов. Любые другие перемещения зарядов запретим.
Покажем, что равновесие получившейся системы неустойчиво. То
есть что если повернуть одну грань относительно другой на небольшой
угол (как показано на рисунке), то система будет стремиться увеличить
этот угол, а не вернуться в исходное состояние.
Q 6 Q 2
Q
5
ϕ
Q Q
3 1
Q
7
Q 4 Q 8
42

Пусть длина ребра исходного куба равна a. Введём систему коорди
нат. Начало координат расположим в центре грани Q Q Q Q , ось Ox
1 2 3 4
направим вправо, ось Oy — вверх (по рисунку), ось Oz — перпендику
лярно плоскости рисунка.
Для угла поворота грани Q Q Q Q относительно грани Q Q Q Q
5 6 7 8 1 2 3 4
введём обозначение ϕ. Для радиуса окружности, описанной около грани
куба, для удобства записи введём обозначение R = a√2/2; соответ
ственно, a = √2R.
В этих обозначениях координаты зарядов будут следующими.
Заряд x y z
Q R 0 0
1
Q 0 R 0
2
Q R 0 0
3
−
Q 0 R 0
4
−
Q (до поворота) R 0 R√2
5
Q (после поворота) Rcosϕ Rsinϕ R√2
5
По теореме Пифагора определим расстояние r между зарядами Q
5
и Q в зависимости от угла поворота ϕ грани Q Q Q Q относительно
1 5 6 7 8
грани Q Q Q Q .
1 2 3 4
(cid:113)
r(Q ,Q ,ϕ) = (R Rcosϕ)2 + (Rsinϕ)2 + (√2R)2 =
5 1
−
(cid:113) (cid:113)
= R (1 cosϕ)2 + sin2 ϕ + 2 = R 1 2cosϕ + cos2 ϕ + sin2 ϕ + 2 =
− −
(cid:112) (cid:112) (cid:112)
= R 4 2cosϕ = √2R 2 cosϕ = a 2 cosϕ
− · − −
Напомним, что энергия электростатического взаимодействия заря
дов q и q , находящихся на расстоянии r друг от друга, равна
1 2
q q 1
1 2
W(q ,q ,r) = k , где k = .
1 2
r 4πεε
0
Таким образом, энергия электростатического взаимодействия заря
дов Q и Q нашей системы в зависимости от угла поворота ϕ равна
5 1
Q 5 Q 1 1 k 1
W(Q
5
,Q
1
,ϕ) = k = k = (2 cosϕ)−2
r(Q ,Q ,ϕ) a√2 cosϕ a −
5 1
−
Введём для этой функции обозначение W(ϕ) и для дальнейшего
решения вычислим первую и вторую производную W(ϕ).
43

k 1
W(ϕ) = (2 cosϕ)−2
a −

W (cid:48) (ϕ) = k (2 cosϕ)− 1 2− 1 cos (cid:48) ϕ = k (2 cosϕ)−2 3 sinϕ
a − −a −

W (cid:48)(cid:48) (ϕ) = k (cid:16) (2 cosϕ)− 3 2 sinϕ (cid:17) (cid:48) =
−a −
= k (cid:18)(cid:16) (2 cosϕ)− 3 2 (cid:17) (cid:48) sinϕ + (2 cosϕ)−2 3 sin(cid:48) ϕ (cid:19) =
−a − −
= k (cid:16) (2 cosϕ)− 3 2− 1 cos (cid:48) ϕ sinϕ + (2 cosϕ)−2 3 cosϕ (cid:17) =
−a − −
k (cid:16) 5 3 (cid:17)
= (2 cosϕ)−2 ( sinϕ)sinϕ + (2 cosϕ)−2 cosϕ =
−a − − −
= k (cid:16) (2 cosϕ)− 5 2 sin2 ϕ (2 cosϕ)− 3 2 cosϕ (cid:17)
a − − −
Найдём численные значения W (cid:48) (0) и W (cid:48)(cid:48) (0), что соответствует энер
гии электростатического взаимодействия зарядов Q и Q при угле
5 1
поворота ϕ = 0.
k 3
W
(cid:48)
(0) = (2 cos0)−2 sin0 = 0
−a −
W (cid:48)(cid:48) (0) = k (cid:16) (2 cos0)− 5 2 sin2 0 (2 cos0)− 3 2 cos0 (cid:17) =
a − − −
k (cid:16) (cid:17) k
3
= (2 1) −2 1 =
a − − · −a
Выполним аналогичные вычисления для зарядов Q и Q . Учиты
5 2
вая, что положение заряда Q отличается от положения заряда Q на
2 1
угол π
2
(то есть 90 ◦), вычисления нужно проводить для ϕ = π
2
.
W (cid:48) (cid:16)π(cid:17) = k (cid:16) 2 cos π(cid:17) − 3 2 sin π = k (2 0)− 3 2 1 = k 2 − 3 2
2 −a − 2 2 −a − · −a ·
(cid:16)π(cid:17) k (cid:18)(cid:16) π(cid:17) 5 π (cid:16) π(cid:17) 3 π (cid:19)
W = 2 cos −2 sin2 2 cos −2 cos =
(cid:48)(cid:48)
2 a − 2 2 − − 2 2
k (cid:16) (cid:17) k
= (2 0) − 5 2 12 (2 0) − 3 2 0 = 2 −2 5
a − · − − · a ·
44

Выполним аналогичные вычисления для зарядов Q и Q . Учиты
5 3
вая, что положение заряда Q отличается от положения заряда Q на
3 1
угол π (то есть 180 ◦), вычисления нужно проводить для ϕ = π.
k k
3 3
W (cid:48) (π) = (2 cosπ) −2 sinπ = (2 ( 1)) −2 0 = 0
−a − −a − − ·
k (cid:16) (cid:17)
W (cid:48)(cid:48) (π) = (2 cosπ) − 5 2 sin2 π (2 cosπ) −2 3 cosπ =
a − − −
k (cid:16) (cid:17) k
= (2 ( 1)) − 5 2 02 (2 ( 1)) − 3 2 ( 1) = 3 −2 3
a − − · − − − · − a ·
Выполним аналогичные вычисления для зарядов Q и Q . Учиты
5 4
вая, что положение заряда Q отличается от положения заряда Q на
4 1
угол 3
2
π (то есть 270 ◦), вычисления нужно проводить для ϕ = 3
2
π.
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) 3
3π k 3π −2 3π k 3 k 3
W (cid:48) = 2 cos sin = (2 0) −2 ( 1) = 2 −2
2 −a − 2 2 −a − · − a ·
(cid:18) (cid:19) (cid:32)(cid:18) (cid:19) 5 (cid:18) (cid:19) 3 (cid:33)
W
3π
=
k
2 cos
3π −2
sin2
3π
2 cos
3π −2
cos
3π
=
(cid:48)(cid:48)
2 a − 2 2 − − 2 2
k (cid:16) (cid:17) k
= (2 0) − 5 2 ( 1)2 (2 0) − 3 2 0 = 2 −2 5
a − · − − − · a ·
Вычислим первую и вторую производные суммарной энергии элек
тростатического взаимодействия заряда Q с зарядами Q , Q , Q и Q .
5 1 2 3 4
(cid:18) (cid:16)π(cid:17) (cid:18) 3π (cid:19)(cid:19) (cid:48)
W(0) + W + W(π) + W =
2 2
(cid:16)π(cid:17) (cid:18) 3π (cid:19)
= W (0) + W + W (π) + W =
(cid:48) (cid:48) (cid:48) (cid:48)
2 2
k k
3 3
= 0 2 −2 + 0 + 2 −2 = 0
− a · a ·
(cid:18) (cid:16)π(cid:17) (cid:18) 3π (cid:19)(cid:19) (cid:48)(cid:48)
W(0) + W + W(π) + W =
2 2
(cid:16)π(cid:17) (cid:18) 3π (cid:19)
= W (0) + W + W (π) + W =
(cid:48)(cid:48) (cid:48)(cid:48) (cid:48)(cid:48) (cid:48)(cid:48)
2 2
45

k k k k k (cid:16) (cid:17)
5 3 5 5 3
= + 2 −2 + 3 −2 + 2 −2 = 2 2 −2 + 3 −2 1 =
−a a · a · a · a · −
(cid:32) (cid:33)
k (cid:16) (cid:17) k 1 1
3 3
=
a
2 −2 + 3 −2
−
1 =
a (cid:0) √2 (cid:1)3
+
(cid:0) √3 (cid:1)3 −
1 <
(cid:32) (cid:33) (cid:18) (cid:19)
k 1 1 k 1 1
< + 1 = + 1 < 0
a (cid:0) √2 (cid:1)2 (cid:0) √3 (cid:1)2 − a 2 3 −
Как мы убедились выше, функция зависимости энергии электроста
тического взаимодействия заряда Q с зарядами грани Q Q Q Q от
5 1 2 3 4
угла поворота ϕ этой грани имеет в точке ϕ = 0 нулевую первую про
изводную и отрицательную вторую производную. То есть в этой точке
график функции имеет горизонтальную касательную и является выпук
лым вверх — это означает, что энергия электростатического взаимодей
ствия при ϕ = 0 имеет локальный максимум (при ϕ = 0 она больше,
чем при иных близких значениях ϕ = 0), то есть равновесие при ϕ = 0
неустойчиво.
Ввиду симметрии системы рассмотренная выше зависимость энер
гии электростатического взаимодействия заряда Q с зарядами грани
5
Q Q Q Q от угла поворота ϕ является точно такой же, как и анало
1 2 3 4
гичная зависимость для этой же грани и зарядов Q , Q и Q . Поэтому
6 7 8
сделанный выше вывод о неустойчивости равновесия верен не только
для заряда Q , но в целом для всей рассмотренной системы зарядов.
5
Теперь снимем ограничения 1), 2) и 3), дополнительно наложенные
на перемещения зарядов системы в начале решения задачи. От сня
тия ограничений и появления дополнительных степеней свободы ста
тическое механическое равновесие не может стать более устойчивым.
Поэтому равновесие исходной системы зарядов также неустойчиво.
Выше мы изложили решение, используя стандартный метод иссле
дования поведения функции с помощью первой и второй производных.
Данный метод изложения был выбран как достаточно строгий и лако
ничный.
Данный метод решения не является единственно возможным. Напри
мер, задачу можно решить методом оценки затраченной работы при
малых поворотах одной грани относительно другой, предварительно
определив электростатические поля в нужных точках. Такое решение не
требует использования производных, поэтому могло быть предложено
школьниками, которые производные ещё не изучали.
Ответ. Равновесие не является устойчивым.
46