Задание №178319: Турнир Ломоносова 2012

Задача 6. Будем освещать поверхность воды пучком параллельных
световых лучей.
Непрозрачную палочку расположим наклонно к поверхности воды
и перпендикулярно падающим световым лучам. Введём обозначения:
A — конец палочки, находящийся над поверхностью воды, B — конец
палочки, находящийся под поверхностью воды, C — точка пересечения
палочки с поверхностью воды.
На рисунке показан вид получившейся оптической системы сверху.
Серым цветом показаны тени от палочки и от бортика сосуда.



A C B





На следующем рисунке показан вид сбоку (слева относительно
первого рисунка) в том же масштабе. Тонкой горизонтальной линией
показана поверхность воды, тонкими наклонными линиями — световые
лучи, проведённые через равные интервалы.
A

уровень воды
C
B
Наличие «перелома» тени видно из рисунков, все геометрические
размеры которых получены в результате геометрических и оптических
расчётов.
Но получить ответ можно и без точных построений и вычислений.
Для этого можно схематично нарисовать рисунок, аналогичный при
ведённому виду сбоку. Будем мысленно перемещать вдоль палочки от
одного конца к другому с постоянной скоростью воображаемую точку
и следить за «тенью» этой точки.
Проекция скорости тени на направление, перпендикулярное плоско
сти рисунка, очевидно, будет всё время постоянной, так как световые

47

лучи в этом направлении вообще не преломляются. Проекция скоро
сти тени на горизонтальное (по рисунку) направление будет разной для
участков AC и CB. Действительно, на участке AC наша воображае
мая точка будет «встречать» световые лучи чаще, чем на участке CB.
Но при этом все показанные на рисунке световые лучи «утыкаются» в
дно сосуда через равные расстояния. Поэтому чем чаще эти световые
лучи пересекает объект, тем больше соответствующая проекция скоро
сти тени объекта.
Сохранение величины одной из проекций скорости и изменение вели
чины другой проекции возможно только при изменении направления
движения, что в нашем случае и означает «перелом» тени.
Мы для простоты рассмотрели освещение параллельным пучком
световых лучей. Для точечного источника освещения решение будет
аналогичным. В самом деле, фактически нас интересует поведение
тени только в одной точке «перелома». Луч света, исходящий от точеч
ного источника и проходящий (после преломления) через нужную нам
точку, а также близкие к нему по направлению лучи, выходящие из того
же источника, в нашем решении можно считать пучком параллельных
лучей.
Заметим, что для экспериментального наблюдения описанного в
задаче эффекта требуется некоторая аккуратность, чтобы сделать
эффект заметным. В частности, необходимо обеспечить достаточно
маленький угол между направлением падающего освещения и поверх
ностью воды. Иначе угол «перелома» тени от палочки окажется очень
маленьким, и наблюдателю может показаться, что «перелом» тени
вообще отсутствует. Учитывая, что наблюдаемый угол «перелома»
самой палочки в месте пересечения поверхности воды достаточно заме
тен, из наблюдений легко сделать ошибочный вывод об отсутствии
«перелома» тени. Наблюдение такой оптической иллюзии и послужило
поводом для составления задачи.
Также заметим, что «перелом» тени наблюдаться не будет, если
попадающие на палочку световые лучи и сама палочка будут лежать в
одной вертикальной плоскости. В этом случае такая плоскость окажется
плоскостью симметрии оптической системы, что делает невозможным
отклонение тени ни в одну, ни в другую сторону от этой плоскости.
Ответ. Наблюдаемая на дне сосуда тень от палочки будет «перела
мываться» (кроме случаев, когда сама палочка и световой луч, освеща
ющий точку пересечения палочкой поверхности воды, располагаются в
одной и той же вертикальной плоскости).
48