Задание №178416: Турнир Ломоносова 2014

Задача 6. Положение изображения в вогнутом зеркале можно найти
по формуле, похожей на формулу тонкой линзы:
1 1 1
− =
𝑎 𝑏 𝑓
Здесь за 𝑎 обозначено расстояние от зеркала до источника (Алисы),
за 𝑏 — от зеркала до изображения (другой Алисы): первое возрастает в
сторону Алисы, второе — в сторону Зазеркалья. Раз изображение Алисы
находится в Зазеркалье, то 𝑏 > 0. Как обычно, 𝑓 — фокусное расстояние.
Для вогнутого зеркала оно положительно.
45

Знак «минус» появляется потому, что вместо преломления (прохож
дения сквозь линзу) происходит отражение, т. е. луч меняет направле
ние, но не меняет среду. В линзе происходит не отражение, а прелом
ление, и луч проходит дальше. Поэтому, например, линза фокусирует
свет от Солнца за собой, а зеркало — перед собой.
Измеряя расстояния в шагах, получим систему уравнений (первое
уравнение записано для исходного положения Алисы, второе соответ
ствует её положению после шага вперёд):
⎧ 1 1 1
⎪⎪⎨
8
−
𝑏
=
𝑓
0 0
1 1 1
⎪⎪⎩
8 − 1
−
𝑏 − 13,5
=
𝑓
0 0
⎧ 1 1 1
⎪⎪⎨
𝑏
=
8
−
𝑓
0 0
1 1 1
⎪⎪⎩
𝑏 − 13,5
=
7
−
𝑓
0 0
⎧ 1 𝑓 − 8
⎪⎪⎨
𝑏
= 0
8𝑓
0 0
1 𝑓 − 7
⎪⎪⎩ = 0
𝑏 − 13,5 7𝑓
0 0
⎧ 8𝑓
⎪⎪⎨ 𝑏
0
=
𝑓 −
0
8
0
7𝑓
⎪⎪⎩ 𝑏
0
− 13,5 =
𝑓 −
0
7
0
8𝑓 7𝑓
0 − 13,5 = 0
𝑓 − 8 𝑓 − 7
0 0
8𝑓 − 13,5(𝑓 − 8) 7𝑓
0 0 = 0
𝑓 − 8 𝑓 − 7
0 0
108 − 5,5𝑓 7𝑓
0 = 0
𝑓 − 8 𝑓 − 7
0 0
(𝑓 − 7)(108 − 5,5𝑓 ) = 7𝑓 (𝑓 − 8)
0 0 0 0
−5,5𝑓2 + 146,5𝑓 − 756 = 7𝑓2 − 56𝑓
0 0 0 0
12,5𝑓2 − 202,5𝑓 + 765 = 0
0 0
𝑓2 − 16,2𝑓 + 61,2 = 0
0 0
46

Решим полученное квадратное уравнение относительно 𝑓 .
0
𝐷 = (−16,2)2 − 4 · 61,2 = 262,44 − 244,8 = 17,64 = 4,22
16,2 ± 4,2
𝑓 = = 8,1 ± 2,1
0 2
Корни уравнения: 𝑓 = 6 и 𝑓 = 10,2. Проверим для каждого из этих
0 0
корней расстояние до изображения по полученной ранее формуле
8𝑓
𝑏 = 0
0 𝑓 − 8
0
а) при 𝑓 = 10,2 шага
0
8𝑓 8 · 10,2
𝑏 = 0 = > 0
0 𝑓 − 8 10,2 − 8
0
Этот результат удовлетворяет условию задачи.
б) при 𝑓 = 6 шагов
0
8𝑓 8 · 6 48
𝑏 = 0 = = = −24 < 0
0 𝑓 − 8 6 − 8 −2
0
Это не удовлетворяет условию задачи — изображение находится не в
Зазеркалье (как требуется по условию), а перед зеркалом. Более того,
изображение находится дальше от зеркала, чем настоящая Алиса (по
условию она стоит в 8 шагах от зеркала). Поэтому Алиса, глядя по
направлению к зеркалу, увидеть это изображение не сможет.
Итак, фокусное расстояние зеркала составляет 10,2 шага Алисы или
10,2 · 60 см = 6,12 м.
Ответ: фокусное расстояние кривого зеркала составляет 10,2 шага
или 6,12 м.
Примечание. Условие задачи из-за нечёткости формулировки неко
торые участники турнира поняли условие так, что зазеркальная Алиса
«проходит» расстояние 12,5 шагов, приближаясь при этом к настоящей
Алисе на 13,5 шагов — с учётом того, что сама настоящая Алиса делает
1 шаг вперёд (по направлению к зеркалу). Такое понимание условия
приводит к уравнению 11,5𝑓2 − 187,5𝑓 + 700 = 0 (где 𝑓 — фокусное
0 0 0
расстояние зеркала, выраженное в шагах Алисы), которое имеет корни
≈5,788 (не удовлетворяет условию) и ≈10,516 (удовлетворяет условию).
47