Задание №180925: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023
Высоты BE и CF остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Перпендикуляр из H к прямой EF пересекает прямую ℓ, проходящую через точку A и параллельную BC, в точке P. Биссектрисы углов, образованных прямыми ℓ и HP, пересекают прямую BC в точках S и T. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и PST касаются.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2023
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2023
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Æ(cid:224)(cid:231)(cid:237)(cid:238)(cid:226)) (8(cid:21)9) ´ßæ(cid:238)(cid:242)ß BE Ł CF (cid:238)æ(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)ª(cid:238) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)-
æ(cid:255) (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) H. ˇ(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)º(cid:255)(cid:240) Ł(cid:231) H Œ (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø EF (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:243)(cid:254) (cid:96), (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)(cid:255)ø(cid:243)(cid:254)
(cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:243) A Ł (cid:239)(cid:224)(cid:240)(cid:224)ºº(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:243)(cid:254) BC, (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) P. `Łææ(cid:229)Œ(cid:242)(cid:240)Łæß (cid:243)ªº(cid:238)(cid:226), (cid:238)Æ(cid:240)(cid:224)(cid:231)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßı
(cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:236)Ł (cid:96) Ł HP, (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:243)(cid:254) BC (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı S Ł T. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)ß(cid:229)
(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:238)(cid:226) ABC Ł PST Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255).
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) PH (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) BC (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) M. ¨(cid:231) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:229)(cid:237)æ(cid:242)(cid:226) ∠MPT = ∠APT =
∠MTP æº(cid:229)(cid:228)(cid:243)(cid:229)(cid:242), (cid:247)(cid:242)(cid:238) MT = MP. (cid:192)(cid:237)(cid:224)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)(cid:238) MS = MP, (cid:242).(cid:229). M (cid:22)(cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø
(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) PST. ˚(cid:240)(cid:238)(cid:236)(cid:229) (cid:242)(cid:238)ª(cid:238), (cid:242)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ AO ⊥ EF, (cid:242)(cid:238) AO (cid:107) MP, ª(cid:228)(cid:229)
O (cid:22) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC. (cid:210)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) H(cid:48), æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)-
(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)(cid:224)(cid:255) H (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) BC, º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC, (cid:242)(cid:238)
(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238)Æ(cid:229)(cid:228)(cid:240)(cid:229)(cid:237)(cid:237)ß(cid:229) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒŁ HMH(cid:48) Ł AOH(cid:48) (cid:239)(cid:238)(cid:228)(cid:238)Æ(cid:237)ß, (cid:231)(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242), M º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:231)Œ(cid:229)
OH(cid:48), (cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:229) OM Ł MP (cid:238)Æ(cid:240)(cid:224)(cid:231)(cid:243)(cid:254)(cid:242) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)ß(cid:229) (cid:243)ªºß æ BC. (cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255)
(cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø OM æ (cid:96) º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)Æ(cid:229)Łı (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:255)ı ABC Ł PST, Œ(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:240)ß(cid:229) (cid:226) (cid:253)(cid:242)(cid:238)Ø (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229)
Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) ((cid:240)Łæ.10).
A P
E
F
H
O
T C M B S
H(cid:48)
—Łæ. 10.
Используемые формулы
¨(cid:231) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:229)(cid:237)æ(cid:242)(cid:226) ∠MPT = ∠APT =∠MTP æº(cid:229)(cid:228)(cid:243)(cid:229)(cid:242), (cid:247)(cid:242)(cid:238) MT = MP.(cid:192)(cid:237)(cid:224)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)(cid:238) MS = MP, (cid:242).(cid:229).
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.