Задание №180924: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023
Про треугольник ABC известно, что точка, симметричная ортоцентру относительно центра описанной окружности, лежит на стороне BC. Пусть A — основание 1 высоты, проведенной из точки A. Докажите, что A лежит на окружности, прохо- 1 дящей через середины тр¨ех высот треугольника ABC. 2
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2023
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2023
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
.ˆ(cid:243)Æ(cid:224)(cid:237)(cid:238)(cid:226)) (8(cid:21)9) ˇ(cid:240)(cid:238) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ ABC Ł(cid:231)(cid:226)(cid:229)æ(cid:242)(cid:237)(cid:238), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224), æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:238)(cid:240)(cid:242)(cid:238)-
(cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:243) (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:224) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł, º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)(cid:229) BC. ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252)
A (cid:22) (cid:238)æ(cid:237)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)Ł(cid:229) (cid:226)ßæ(cid:238)(cid:242)ß, (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:229)(cid:228)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø Ł(cid:231) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ A. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) A º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)-
1 1
(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł, (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)(cid:255)ø(cid:229)Ø (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)ß (cid:242)(cid:240)(cid:4)(cid:229)ı (cid:226)ßæ(cid:238)(cid:242) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). —(cid:224)ææ(cid:242)(cid:238)(cid:255)(cid:237)Ł(cid:229) (cid:238)(cid:242) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:224) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:228)(cid:238) æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)ß BC (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238) (cid:239)(cid:238)º(cid:238)-
(cid:226)Ł(cid:237)(cid:229) (cid:238)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:231)Œ(cid:224) AH, ª(cid:228)(cid:229) H (cid:22) (cid:238)(cid:240)(cid:242)(cid:238)(cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240). (cid:209) (cid:228)(cid:240)(cid:243)ª(cid:238)Ø æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)ß, Ł(cid:231) (cid:243)æº(cid:238)(cid:226)Ł(cid:255) (cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)Ł æº(cid:229)(cid:228)(cid:243)(cid:229)(cid:242),
(cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:253)(cid:242)(cid:238) (cid:240)(cid:224)ææ(cid:242)(cid:238)(cid:255)(cid:237)Ł(cid:229) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238) (cid:239)(cid:238)º(cid:238)(cid:226)Ł(cid:237)(cid:229) (cid:238)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:231)Œ(cid:224) HA . (cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), H (cid:22) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:224) AA .
1 1
ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) A (cid:22) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:224) BC. (cid:210)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)ß X, Y (cid:226)ßæ(cid:238)(cid:242) BB , CC º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) æ(cid:240)(cid:229)(cid:228)-
0 1 1
(cid:237)Łı ºŁ(cid:237)Ł(cid:255)ı (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224), (cid:243)ªºß A XH Ł A Y H (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:229), (cid:242).(cid:229). (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ X Ł Y º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224)
0 0
(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł æ (cid:228)Ł(cid:224)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:236) A H. ˛(cid:247)(cid:229)(cid:226)Ł(cid:228)(cid:237)(cid:238), (cid:247)(cid:242)(cid:238) A (cid:242)(cid:238)(cid:230)(cid:229) º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:253)(cid:242)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł
0 1
((cid:240)Łæ.9).
A
C
1
B
1
H
Y
X
B C
A A
0 1
—Łæ. 9.
5
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.