Задание №180996: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026
Даны окружность !, точка A на ней и точка B. Пусть X — произвольная точка !, T — точка пересечения касательных к окружности ABX в точках X и B. Найдите геометрическое место точек T. 2
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2026
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2026
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(Е.Волокитин) Даны окружность !, точка A на ней и точка B. Пусть X —
произвольная точка !, T — точка пересечения касательных к окружности ABX в
точках X и B. Найдите геометрическое место точек T.
Ответ. Прямая, проходящая через середину отрезка BC и перпендикулярная BD,
где C — вторая точка пересечения ! с прямой AB, а D — точка !, диаметрально
противоположная C.
Решение. Пусть P — точка пересечения касательных, Q — точка, симметричная
B относительно P. Так как PQ = PB = PX, треугольник BXQ прямоугольный,
причем \BQX = 90◦ − \XBP = 90◦ − \XAC = \DCX (рис. 10). Поэтому XQB и
XCD подобны, а значит, треугольники XQC и XBP также подобны. Следовательно,
XQ ⊥ BD, откуда и следует ответ (очевидно, что любая точка полученной прямой
может быть получена, как точка пересечения касательных)
8
A
D
X
B
P
Q
C
Рис. 10.
Используемые формулы
Так как PQ = PB = PX, треугольник BXQ прямоугольный,причем \BQX = 90◦ − \XBP = 90◦ − \XAC = \DCX (рис.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.