Задание №180995: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026
Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром в I. Окружности BID и AIC пересеклись в точке P, а лучи AB и DC в точке Q. Пусть R –— середина PI. Докажите, что ARQD вписанный.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2026
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2026
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(И.Кухарчук) Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром
в I. Окружности BID и AIC пересеклись в точке P, а лучи AB и DC в точке Q.
Пусть R –— середина PI. Докажите, что ARQD вписанный.
Решение. Пусть K, L, M, N — точки касания вписанной окружности со сторонами
AB, BC, CD, DA соответственно. При инверсии относительно окружности точки A,
B, C, D, Q переходят в середины A′, B′, C′, D′, Q′ отрезков KN, KL, LM, MN, KM
соответственно, точка P в центр тяжести G четырехугольника KLMN, а точка R
в точку R′, симметричную I относительно G (рис. 9). Эту точку можно получить,
как образ точки L при композиции трех гомотетий: с центром N и коэффициентом
1=2, с центром Q′ и коэффициентом 1=2, с центром I и коэффициентом 2. Эта ком-
позиция переводит точку I в центр окружности девяти точек треугольника MNK,
следовательно, точка R′ лежит на окружности A′D′Q′.
7
N
A′ D′
I
K M
Q′
R′
L
Рис. 9.
Используемые формулы
1=2, с центром Q′ и коэффициентом 1=2, с центром I и коэффициентом 2.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.