Задание №180952: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024
Вписанная окружность ! прямоугольного треугольника ABC касается окружности, проходящей через середины его сторон, в точке F. Из середины O гипотенузы AB проведена касательная OE к !, отличная от AB. Докажите, что CE = CF.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и рассчитано на уровень 9 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Вписанная окружность ω прямоугольного треугольника ABC ка-
сается окружности, проходящей через середины его сторон, в точке F. Из середины
O гипотенузы AB проведена касательная OE к ω, отличная от AB. Докажите, что
CE = CF.
Решение. При гомотетии с центром C и коэффициентом 2 точка F перейдет в точку
касания описанной и полувписанной окружностей треугольника. Поэтому прямая
CF симметрична относительно биссектрисы угла C прямой, проходящей через точку
касания гипотенузы с вневписанной окружностью. Пусть вписанная и вневписанная
окружности касаются гипотенузы в точках T и S соответственно. Так как OE =
OT = OS, получаем, что \SET = π/2, т.е. прямая SE проходит через точку ω,
диаметрально противоположную T. Но прямая SC также проходит через эту точку,
следовательно, E лежит на SC и симметрична F относительно биссектрисы угла C
(рис. 14).
C
E
F
A B
S O T
Рис. 14
Используемые формулы
CE = CF.Так как OE =OT = OS, получаем, что \SET = π/2, т.е.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.