Задание №175340: Геометрия

2. В остроугольном треугольнике провели обе трисектрисы одного из углов (то есть разделили его на 3 равные части), которые разделили противоположную сторону в отношении 5 : 3 : 3. Найдите периметр треугольника, если длина более короткой трисектрисы равна 6. ( П. Д. Муленко) √ Ответ: 21 + 3 5. Решение. Обозначим вершину разделённого угла за 𝐴, а точки на противоположной стороне за 𝐵, 𝐶, 𝐷 и 𝐸 так, что 𝐵𝐶 : 𝐶𝐷 : 𝐷𝐸 = 5 : 3 : 3. Отрезок 𝐴𝐷 в треугольнике 𝐸𝐴𝐶 является не только биссектрисой, но и медианой, поэтому треугольник 𝐸𝐴𝐶 — равнобедренный, и 𝐴𝐷 перпендикулярно𝐵𝐸, что означает, что𝐴𝐷 — более короткая трисектриса. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник 𝐷𝐴𝐵. В нём отрезок 𝐴𝐶 является биссектрисой, поэтому 𝐵𝐶 : 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 : 𝐴𝐷. Обозначим длину 𝐵𝐶 = 5𝑥 (тогда 𝐶𝐷 = 3𝑥), а длину 𝐴𝐵 = 5𝑦 (тогда 𝐴𝐷 = 3𝑦). По теореме Пифагора, 𝐴𝐵2 = 𝐵𝐷2 + 𝐴𝐷2, или (5𝑦)2 = (8𝑥)2 + (3𝑦)2, откуда 16𝑦2 = 64𝑥2, то есть 𝑦 = 2𝑥. Следовательно, 𝐴𝐷 = 3𝑦 = 6𝑥 = 6, поэтому 𝑥 = 1 (и 𝑦 = 2). Таким образом, 𝐴𝐵 = 10, 𝐵𝐶 = 5 и 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸 = 3. Для нахождения периметра треугольника 𝐴𝐵𝐸 осталось найти длину 𝐴𝐸, что можно сделать с помощью теоремы Пифагора в треугольнике √ √ 𝐴𝐷𝐸: 𝐴𝐸2 = 𝐴𝐷2 + 𝐷𝐸2 = 62 + 32 = 45, откуда 𝐴𝐸 = 3 5, и периметр равен 10 + 5 + 3 + 3 + 3 5 = √ = 21 + 3 5. Критерии. Объяснено, что 𝐴𝐷 является более короткой биссектрисой — 1 балл. Задача решена в предположении, что 𝐵𝐶 = 5 и 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸 = 3 — не более 2 баллов. Не доказано, что 𝐴𝐷 ⊥ 𝐵𝐸 (например, потому что «более короткая» понято как «кратчайшее расстояние») — −2 балла. 18