Задание №175338: Геометрия

6. В остроугольном треугольнике провели обе трисектрисы одного из углов (то есть
разделили его на 3 равные части), которые разделили противоположную сторону
в отношении 5 : 3 : 3. Найдите периметр треугольника, если длина более короткой
трисектрисы равна 6. ( П. Д. Муленко)
√
Ответ: 21 + 3 5.
Решение. Обозначим вершину разделённого угла за 𝐴, а точки на противоположной стороне
за 𝐵, 𝐶, 𝐷 и 𝐸 так, что 𝐵𝐶 : 𝐶𝐷 : 𝐷𝐸 = 5 : 3 : 3.
Отрезок 𝐴𝐷 в треугольнике 𝐸𝐴𝐶 является не только биссектрисой, но

и медианой, поэтому треугольник 𝐸𝐴𝐶 — равнобедренный, и 𝐴𝐷 пер-
пендикулярно𝐵𝐸, что означает, что𝐴𝐷 — более короткая трисектриса.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник 𝐷𝐴𝐵. В нём отрезок
𝐴𝐶 является биссектрисой, поэтому 𝐵𝐶 : 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 : 𝐴𝐷. Обозначим
длину 𝐵𝐶 = 5𝑥 (тогда 𝐶𝐷 = 3𝑥), а длину 𝐴𝐵 = 5𝑦 (тогда 𝐴𝐷 = 3𝑦).

По теореме Пифагора, 𝐴𝐵2 = 𝐵𝐷2 + 𝐴𝐷2, или (5𝑦)2 = (8𝑥)2 + (3𝑦)2, откуда 16𝑦2 = 64𝑥2, то есть
𝑦 = 2𝑥. Следовательно, 𝐴𝐷 = 3𝑦 = 6𝑥 = 6, поэтому 𝑥 = 1 (и 𝑦 = 2).
Таким образом, 𝐴𝐵 = 10, 𝐵𝐶 = 5 и 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸 = 3. Для нахождения периметра треугольника 𝐴𝐵𝐸
осталось найти длину 𝐴𝐸, что можно сделать с помощью теоремы Пифагора в треугольнике
√ √
𝐴𝐷𝐸: 𝐴𝐸2 = 𝐴𝐷2 + 𝐷𝐸2 = 62 + 32 = 45, откуда 𝐴𝐸 = 3 5, и периметр равен 10 + 5 + 3 + 3 + 3 5 =
√
= 21 + 3 5.
Критерии. Объяснено, что 𝐴𝐷 является более короткой биссектрисой — 1 балл.
Задача решена в предположении, что 𝐵𝐶 = 5 и 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸 = 3 — не более 2 баллов.
Не доказано, что 𝐴𝐷 ⊥ 𝐵𝐸 (например, потому что «более короткая» понято как «кратчайшее расстоя-
ние») — −2 балла.

17



Л А Е Д Международная математическая олимпиада
У И
М Н
Ф О Р С Т В А «Формула Единства» / «Третье тысячелетие»
2025-2026 учебный год. Заключительный этап
Е
И
Т Р Е Т Ч Е Л Е Т Решения задач