Задание №180988: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026
В равнобокую трапецию ABCD вписана окружность, касающаяся боковой стороны AB в точке T. Отрезки TC и TD повторно пересекают эту окружность в точках P, Q соответственно. Чему может быть равно TP=PC + TQ=QD?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2026
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2026
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(S.Khalifah) В равнобокую трапецию ABCD вписана окружность, касающаяся
боковой стороны AB в точке T. Отрезки TC и TD повторно пересекают эту окруж-
ность в точках P, Q соответственно. Чему может быть равно TP=PC + TQ=QD?
Ответ. 8.
1
Решение. Пусть M, N — середины оснований BC, AD соответственно (рис. 2).
Тогда BT2 = CM2 = CP · CT = CP(CP + TP), следовательно,
TP CM2 CT2
= + 1 = + 1:
CP CP2 BT2
B M C
P
T
Q
A D
N
Рис. 2.
Применяя теорему косинусов к треугольнику CBT, в котором BC = 2BT, получаем
CT2 = BT2(5−4cos\B). Аналогично DT2 = AT2(5−4cos\A). Поскольку cos\A+
cos\B = 0, получаем, что CT2=BT2 + DT2=AT2 = 10 и TP=PC + TQ=QD = 8.
Используемые формулы
Чему может быть равно TP=PC + TQ=QD?Тогда BT2 = CM2 = CP · CT = CP(CP + TP), следовательно,= + 1 = + 1:Применяя теорему косинусов к треугольнику CBT, в котором BC = 2BT, получаемCT2 = BT2(5−4cos\B).Аналогично DT2 = AT2(5−4cos\A).
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.