Я САМЯ сам решу
ОлимпиадаМатематикаГеометрия · Олимпиада Шарыгина 2026Олимпиадный

Задание №180989: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026

Условие

Пусть AK –— биссектриса треугольника ABC, точка N на AC такова, что \NKC = \CAB=2, L –— середина KN. Докажите, что \KBN = \LAK.

📎 2026_zaoch_rus.pdf📎 2026_zaoch_sol_rus.pdf

Что проверяет это задание

Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:

  • анализ условия
  • выбор формулы
  • проверка вычислений

Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2026

Качество материала

Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.

Условиеполное
Первоисточникуказан
Подробное решениеопубликовано
Проверка дублейосновная версия

Последняя проверка решения:

Происхождение задания

Банк заданий
Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
Организатор
Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
Год материала
2026
Материалы
2 файла
Открыть официальный архив ↗

Связанные понятия

МатематикаГеометрия · Олимпиада Шарыгина 2026Олимпиада Шарыгина 2026 · тип 3анализ условиявыбор формулы

План самостоятельного решения

  1. Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
  2. Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
  3. Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
  4. Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.

Ориентировочное время: 15 минут.

Закрепить тему

После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.

Собрать тренировочный вариант → Все задания по теме

Подробный разбор

Решение по шагам

ООфициальный разбор · ВсОШПроверено

(И.Кухарчук) Пусть AK –— биссектриса треугольника ABC, точка N на AC

такова, что \NKC = \CAB=2, L –— середина KN. Докажите, что \KBN = \LAK.
Решение. Так как \NKC = \CAK = \KAB, то \AKB = \ANK (рис. 3). Следо-
вательно, треугольники ANK и AKB подобны и AK : AN = BK : KN. Применяя
теорему синусов к треугольникам ANL, ALK и NKB, получаем, что sin\NAL :
sin\LAK = sin\BNK : sin \KBN, а поскольку \BNK + \KBN = \NAK, отсю-
да следует искомое равенство.















2

C




N
L
K








A B
Рис. 3.

Используемые формулы

  • такова, что \NKC = \CAB=2, L –— середина KN.
  • Докажите, что \KBN = \LAK.
  • Так как \NKC = \CAK = \KAB, то \AKB = \ANK (рис.
  • вательно, треугольники ANK и AKB подобны и AK : AN = BK : KN.
  • теорему синусов к треугольникам ANL, ALK и NKB, получаем, что sin\NAL :
  • sin\LAK = sin\BNK : sin \KBN, а поскольку \BNK + \KBN = \NAK, отсю-

Самопроверка после решения

  • Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
  • Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
  • Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
  • Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.

Типичные ошибки

  • Не проверить область допустимых значений.
  • Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
  • Не выполнить обратную подстановку.
Сложность: ОлимпиадныйРешение проверено: