Задание №176636: ОММО 2025
Задача 3. У Тани имеется сосуд, заполненный раствором кислоты в воде. Масса раствора 3кг, процентное содержание кислоты в растворе равно 89,76%. Таня несколько раз совершает следующую операцию. Таня доливает в сосуд 1 кг кислоты, а затем выливает из сосуда 1кг раствора. Сколько раз Таня совершила эту операцию, если процентное содержание кислоты в растворе стало равным 97,57%?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2025» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 2. На окружности через равные промежутки отметили 144 точки и провели все воз-
можные хорды между ними. Хорду с концами в отмеченных точках назовем «чётной», если на
большей дуге, которую она стягивает, лежит чётное число точек. В противном случае хорда
«нечётная». Рядом с каждой вершиной написано число. Сумма квадратов этих чисел равна 36.
На каждой хорде написано произведение чисел, стоящих на её концах. Сумма чисел на «чётных»
хордах равна a, сумма чисел на «нечётных» хордах равна b. Найдите наибольшее возможное
значение величины a − b.
Ответ: 18.
Решение. Обозначим числа по кругу x ,x ,...,x , тогда
1 2 144
(cid:88) (cid:88)
a = x x , b = x x .
k l k l
k−l k−l
нечётно чётно
Заметим, что
144
(cid:88)
(x − x + x − x + ... + x − x )2 = x2 − 2(a − b) = 36 − 2(a − b) (cid:62) 0,
1 2 3 4 143 144 i
i=1
а значит a − b (cid:54) 18.
144/2 144/2
Равенство достигается при (cid:80) x = (cid:80) x , в частности при x = x = ... = x = 1.
2i 2j−1 1 2 144 2
i=1 j=1
Используемые формулы
a = x x , b = x x .+ x − x )2 = x2 − 2(a − b) = 36 − 2(a − b) (cid:62) 0,i=1Равенство достигается при (cid:80) x = (cid:80) x , в частности при x = x = ...= x = 1.i=1 j=1
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.