Задание №180818: Командная олимпиада 2024
Пусть A – подмножество натуральных чисел, обладающее 2 свойствами: 1) Если a принадлежит A, то все делители a тоже принадлежат A; 2) Если a и b (1 < a < b) принадлежат A, то 1 + ab тоже A; Докажите, что если A содержит хотя бы 2 натуральных числа, больших 1, то A содержит все натуральные числа.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Командная олимпиада 2024» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Командная олимпиада 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Решение. Докажем в 4 этапа: 1) 2 лежит в A, 2) 3 лежит в A, 3) все нечетные
в A, 4) все в A.
1). Есть a,b > 1, если среди них есть четное – 2 лежит как делитель, если нет –
тогда 1 + ab – четное.
2). Итак, есть 2 и a > 2. Если a делится на 3 – 3 лежит. Если a вида 3k + 1 –
2a+1 делится на 3. Иначе смотрим на числа 2a+1 = 2(a+1)−1, 2(2a+1)+1 =
22(a + 1) − 1, ...2m(a + 1) − 1. Если хоть одно из них не простое – то у него
есть собственный делитель вида 3k+2 – поделили на него, частное вида 3k+1.
А все эти числа не могут быть простыми, ибо первое делилось на a (было ему
равно), и остатки по модулю повторяются периодично.
3). Из 2 и 3 соорудили 2·3+1 = 7,2·7+1 = 15,...2k−1. Надо объяснять, почему
любое нечетное число – делитель одного из членов этой последовательности?
Например, по теореме Эйлера.
4). Тут уже как угодно. Если надо получить четное n, можно рассмотреть де-
литель (n + 1)(n − 1) + 1.
Предложил Г.Челноков
Используемые формулы
Иначе смотрим на числа 2a+1 = 2(a+1)−1, 2(2a+1)+1 =Из 2 и 3 соорудили 2·3+1 = 7,2·7+1 = 15,...2k−1.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.