Задание №180821: Командная олимпиада 2024
Точка I – центр вписанной окружности ABC. Основания перпендикуляров, опущенных из точки I на стороны BC,CA и AB это D,E и F соответственно. Пусть K – точка, симметричная D относительно AI, а L – вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников BFK и CEK. Оказалось, 1 DE что BC = AC − AB. Какие значения может принимать ? 3 KL
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Командная олимпиада 2024» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Командная олимпиада 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Ответ: 2.
Решение.
Равенство из условия можно переписать в виде CD = 2·BD. Очевидно, что точ-
ка K лежит на вписанной окружности. Пусть касательная к вписанной окруж-
ности ABC в точке K пересекает стороны AC,AB или их продолжения в точ-
ках X,Y соответственно. Тогда B и X – середины отрезков FY и EC соот-
ветственно. Действительно, в силу симметрии относительно биссектрисы угла
A FY = CE = CD = 2BD = 2BF и 2XE = 2KX = 2BD = CD = CE.
Пусть W – середина отрезка KY , тогда KWBF – равнобедренная трапеция,
так как треугольник KY F является равнобедренным. Пусть Z симметрична
точке K относительно точки X, тогда EKCZ прямоугольник. Два рассмот-
ренных четырехугольника вписаны в соответствующие окружности из условия.
Давайте воспользуемся этим. Имеем XL = XK = Y B = Y W, что означает что
L симметрична B относительно серединного перпендикуляра к WK (окруж-
ность FBWKL симметрична относительно этого серединного перпендикуляра
и точки Y и Z тоже, а от последних проведены отрезки равной длины к B и L).
FK DE DE
Получаем, что KL = BW = = . Отсюда = 2.
2 2 KL
Шорт-лист Балканской олимпиады, 2021
Используемые формулы
Равенство из условия можно переписать в виде CD = 2·BD.A FY = CE = CD = 2BD = 2BF и 2XE = 2KX = 2BD = CD = CE.Имеем XL = XK = Y B = Y W, что означает чтоПолучаем, что KL = BW = = .Отсюда = 2.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.