Задание №175395: Задание 5
5. Числа от 1 до 1000000 разбили на 100000 десятков (то есть групп от 10a+1 до 10a+10) и в каждом десятке покрасили одно число в красный цвет, а другое в зелёный. Докажите, что можно выбрать несколько (не более 50) красных чисел и столько же зелёных чисел так, чтобы сумма выбранных красных чисел была равна сумме выбранных зелёных. Обязательно прочитайте всю размещенную ниже информацию! Ваш регистрационной номер — это шестизначный ID заявки, полученный вами при регистрации на олимпиаду. Вопросы по техническим проблемам, возникающим при регистрации участников и работе в личных кабинетах задавайте письмами по адресу online@sochisirius.ru (служба технической поддержки). Вопросы, связанные с заданиями, задавайте письмами по адресу info@matol.ru. Не следует писать на оба адреса сразу! Прежде, чем задавать вопрос по заданию, посмотрите, нет ли ответа на него в документе по адресу https://docs.google.com/document/d/1LQX2KGc6uSovBttJnVdSW6Is6ImXNhzQAtjE tVVF9dI/edit?usp=share_link Из пяти часов, выделенных на выполнение работы, последний час предназначен для её подготовки к отправке. Откладывая подготовку на последний момент, вы делаете это на свой страх и риск: жалобы на возникшие из-за этого проблемы (не успели отсканировать, пропал интернет и т. п.) рассматриваться не будут. ИНСТРУКЦИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОТПРАВКЕ РАБОТЫ
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 5» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада имени Леонарда Эйлера — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада имени Леонарда Эйлера — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 5» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
5. Числа от 1 до 1000000 разбили на 100000 десятков (то есть групп от 10a+1 до 10a+10) и в каждом
десятке покрасили одно число в красный цвет, а другое в зелёный. Докажите, что можно выбрать
несколько (не более 50) красных чисел и столько же зелёных чисел так, чтобы сумма выбранных красных
чисел была равна сумме выбранных зелёных. (А. Голованов)
Решение. Рассмотрим первую тысячу десятков и разобьем ее на 500 первых десятков и 500 следующих. В
первых 500 десятках рассмотрим 499 пар, состоящие из красного числа и зеленого в следующем десятке.
Заметим, что в каждой паре разность зеленого и красного чисел положительна и меньше 20. По принципу
Дирихле найдется 20 пар с одинаковой разностью, равной 0 < a < 20. Аналогично, если в первом десятке брать
зеленое число и красное в следующем десятке, во второй пятисотке десятков найдется 20 пар с одинаковой
разностью красного и зеленого, равной 0 < b < 20. Тогда, если выбрать b пар из первого десятка и a пар из
второго, будет выбрано по a+b < 40 чисел каждого цвета, а сумма их разностей (если из красного всегда
вычитать зелёное) будет равна 0.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.