Задание №180799: Командная олимпиада 2025
Дано простое число p. Петя и Вася по очереди (начинает Петя) вписывают цифры в свободные клетки полоски 1 × p. Петя побеждает, если полученное число (возможно, с ведущими нулями) делится на p, а Вася хочет ему помешать. Кто выигрывает при правильной игре? (Шорт-лист, 2017)
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Командная олимпиада 2025» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Командная олимпиада 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Ответ: Петя.
Решение.
Для p = 2 или p = 5 достаточно написать 0 последней цифрой. Для остальных
простых p впишем на первую позицию 0. По МТФ (10p− 2 1)2 = 10p−1 ≡ 1(modp).
Тогда 10p− 2 1 ≡ 1(modp) или 10p− 2 1 ≡ −1(modp). Разобьем оставшиеся разряды
на пары с разницей номеров p−1. В первом случае на ход Васи цифрой x мы
2
ходим в парный разряд цифрой 9−x. Тогда суммарный вклад будет делиться на
p по МТФ. Во втором случае на ход Васи цифрой x мы ходим в парный разряд
тоже цифрой x. Таким образом в каждой паре суммарный вклад делится на p.
Используемые формулы
Для p = 2 или p = 5 достаточно написать 0 последней цифрой.По МТФ (10p− 2 1)2 = 10p−1 ≡ 1(modp).
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.