Задание №180802: Командная олимпиада 2025
Вера рисует картину внутри квадрата 1 × 1. Она хочет закрасить несколько непересекающихся квадратов суммарной площади S со сторонами, параллельными сторонам исходного квадрата. При каком наибольшем значении S любой конечный набор квадратов с суммарной площадью S Вера сможет нарисовать? (Журнал CRUX, 2004 №4, вариация) 1
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Командная олимпиада 2025» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Командная олимпиада 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Ответ: S =
2
1
Решение. Пусть значение S > , тогда можно взять два равных квадрата пло-
2
1
щади более , каждый из них содержит центр.
4
Упорядочим квадраты по убыванию и будем последовательно их выкладывать
в ряд по нижней стороне, пока можем. Если очередной квадрат «выпирает», то
проведем линию по верхней стороне первого квадрата и продолжим уже по ней
аналогичный процесс. И так далее. Рассмотрим высоты самых левых квадратов.
Пусть их сумма равна h. Докажем, что h ⩽ 1. Площадь всех квадратов можно
оценить как x2 + (1 − x)(h − x) (первый квадрат x × x, а дальше мы можем
использовать то, что первый квадрат в каждом слое это тот, который не влез на
1
предыдущий). С другой стороны сумма площадей квадратов равна . Получим
2
1 − x2 1 − x2
оценку h ⩽ 2 + x. Но 2 + x ⩽ 1, значит все уместится.
1 − x 1 − x
Используемые формулы
Ответ: S =
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.