Задание №176231: ОММО 2015
Задача 6. Для x = π найдите значение суммы 2n sin2(x) + sin2(2x) + sin2(3x) + ... + sin2(nx)
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2015» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2015
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2015
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2015» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 10. В конус вписан цилиндр объема 9. Плоскость верхнего основания этого цилиндра отсе-
кает от исходного конуса усеченный конус объемом 63. Найдите объем исходного конуса.
Ответ: 64.
Решение. Пусть высота и радиус исходного конуса равны H и R, а высота и радиус цилиндра
равны h и r. Воспользуемся формулой для объема усеченного конуса: 1π(R2 +Rr+r2)h = 63. Также
3
мы знаем, что πr2h = 9. Поделив соответствующие части равенств получаем (cid:0)R(cid:1)2 + (cid:0)R(cid:1) + 1 =
r r
63·3 = 21. Решая квадратное уравнение получаем корни 4 и −5, геометрический смысл имеет только
9
положительный. R/r = 4, H−h = 4, h = 3, откуда получаем для исходного конуса:
H H 4
(cid:18) (cid:19)2
1 1 R H 1 4
V = πR2H = (cid:0) πr2h (cid:1) = · 9 · 42 · = 64.
3 3 r h 3 3
4
ОММО 01.02.2015 ответы и краткие решения Вариант II
Вариант II
Используемые формулы
Воспользуемся формулой для объема усеченного конуса: 1π(R2 +Rr+r2)h = 63.мы знаем, что πr2h = 9.Поделив соответствующие части равенств получаем (cid:0)R(cid:1)2 + (cid:0)R(cid:1) + 1 =63·3 = 21.R/r = 4, H−h = 4, h = 3, откуда получаем для исходного конуса:V = πR2H = (cid:0) πr2h (cid:1) = · 9 · 42 · = 64.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.