Задание №176254: ОММО 2015
Задача 9. В турнире по волейболу принимаются ставки на четыре команды. На первую команду ставки принимаются в соотношении 1 : 2 (при выигрыше первой команды игрок получает сумму, которую он поставил на эту команду и плюс двукратную сумму, т.е. получает в три раз больше поставленных денег, а при проигрыше деньги не возвращаются). На вторую команду ставки принимаются в соотношении 1 : 4, на третью — 1 : 5, на четвертую — 1 : 6. Можно ли так поставить, чтобы выиграть при любом исходе турнира?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2015» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2015
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2015
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2015» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 3. Если из четырехзначного числа X вычесть сумму его цифр, то получится натуральное
число N = K2, причем K — натуральное число, дающее остаток 5 при делении на 20 и остаток 3
при делении на 21. Найдите число N.
Ответ: 2025.
Решение. Пусть X = abcd = 1000a + 100b + 10c + d, при этом a, b, c, d — цифры и a (cid:54)= 0.
По условию, X − a − b − c − d = 999a + 99b + 9c = K2, где K = 20u + 5, K = 21v + 3.
. .
Заметим, что 999a + 99b + 9c . . 9, т.е. K2 . . 9, значит K = 3M, при этом M2 = 111a + 11b + c ≤
111 · 9 + 11 · 9 + 9 = 1107, M ≤ 33, K = 3M ≤ 99.
Таким образом, нам осталось среди чисел от 1 до 99 найти все те числа, которые делятся на 3,
дают остаток 5 при делении на 20 и остаток 3 при делении на 21. Это можно сделать различными
способами, например, простым перебором: выпишем все числа от 1 до 99, дающие остаток 3 при
делении на 21:
3, 24, 45, 66, 87;
из них только одно число — 45 дает остаток 5 при делении на 20. То есть K = 45, а N = 2025.
Используемые формулы
число N = K2, причем K — натуральное число, дающее остаток 5 при делении на 20 и остаток 3Пусть X = abcd = 1000a + 100b + 10c + d, при этом a, b, c, d — цифры и a (cid:54)= 0.По условию, X − a − b − c − d = 999a + 99b + 9c = K2, где K = 20u + 5, K = 21v + 3.9, значит K = 3M, при этом M2 = 111a + 11b + c ≤111 · 9 + 11 · 9 + 9 = 1107, M ≤ 33, K = 3M ≤ 99.То есть K = 45, а N = 2025.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.