Задание №176469: ОММО 2021
Задача 6. Вычислите π 2π 2π 3π kπ (k + 1)π 2019π 2020π tg · tg + tg · tg + ... + tg · tg + ... + tg · tg . 43 43 43 43 43 43 43 43
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2021» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2021
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2021
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2021» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
3. 8! · (−2)4 · a0 = 28 · 40
4!·4!·0!
(cid:210)(cid:224)ŒŁ(cid:236) (cid:238)Æ(cid:240)(cid:224)(cid:231)(cid:238)(cid:236), Œ(cid:238)(cid:253)(cid:244)(cid:244)Ł(cid:246)Ł(cid:229)(cid:237)(cid:242) (cid:239)(cid:240)Ł x4 Æ(cid:243)(cid:228)(cid:229)(cid:242) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:229)(cid:237) 28a2 + 28 · 24a + 28 · 40.
(cid:210)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ (cid:239)(cid:238) (cid:243)æº(cid:238)(cid:226)Ł(cid:254) (cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)Ł (cid:228)(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßØ Œ(cid:238)(cid:253)(cid:244)(cid:244)Ł(cid:246)Ł(cid:229)(cid:237)(cid:242) (cid:228)(cid:238)º(cid:230)(cid:229)(cid:237) Æß(cid:242)(cid:252) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:229)(cid:237) −1540 = −28 · 55, Ł(cid:236)(cid:229)(cid:229)(cid:236)
(cid:243)(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229): 28a2+28·24a+28·40 = −28·55. —(cid:224)(cid:231)(cid:228)(cid:229)ºŁ(cid:226) (cid:238)Æ(cid:229) (cid:247)(cid:224)æ(cid:242)Ł (cid:243)(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) (cid:237)(cid:224) 28 Ł (cid:239)(cid:240)Ł(cid:226)(cid:229)(cid:228)(cid:255) (cid:239)(cid:238)(cid:228)(cid:238)Æ(cid:237)ß(cid:229),
(cid:239)(cid:238)º(cid:243)(cid:247)Ł(cid:236) a2 + 24a + 95 = 0. ˜(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)(cid:229) (cid:243)(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229) Ł(cid:236)(cid:229)(cid:229)(cid:242) (cid:228)(cid:226)(cid:224) (cid:226)(cid:229)ø(cid:229)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)ßı Œ(cid:238)(cid:240)(cid:237)(cid:255): a = −19 Ł a = −5.
1 2
(cid:210)(cid:224)ŒŁ(cid:236) (cid:238)Æ(cid:240)(cid:224)(cid:231)(cid:238)(cid:236), (cid:237)(cid:224)ŁÆ(cid:238)º(cid:252)ł(cid:229)(cid:229) (cid:231)(cid:237)(cid:224)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229) (cid:239)(cid:224)(cid:240)(cid:224)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)(cid:224) a, (cid:239)(cid:240)Ł Œ(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:236) Œ(cid:238)(cid:253)(cid:244)(cid:244)Ł(cid:246)Ł(cid:229)(cid:237)(cid:242) (cid:239)(cid:240)Ł x4 (cid:226) (cid:240)(cid:224)(cid:231)º(cid:238)(cid:230)(cid:229)(cid:237)ŁŁ
(cid:236)(cid:237)(cid:238)ª(cid:238)(cid:247)º(cid:229)(cid:237)(cid:224) (1 − 2x + ax2)8 Æ(cid:243)(cid:228)(cid:229)(cid:242) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:229)(cid:237) −1540 (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238) −5.
˙(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)(cid:224) 8. ˜(cid:224)(cid:237) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238)Æ(cid:229)(cid:228)(cid:240)(cid:229)(cid:237)(cid:237)ßØ (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ KLM (KL = LM) æ (cid:243)ªº(cid:238)(cid:236) (cid:239)(cid:240)Ł (cid:226)(cid:229)(cid:240)łŁ(cid:237)(cid:229), (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)ß(cid:236) 114◦.
(cid:210)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) O (cid:240)(cid:224)æ(cid:239)(cid:238)º(cid:238)(cid:230)(cid:229)(cid:237)(cid:224) (cid:226)(cid:237)(cid:243)(cid:242)(cid:240)Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) KLM (cid:242)(cid:224)Œ, (cid:247)(cid:242)(cid:238) ∠OMK = 30◦, (cid:224) ∠OKM = 27◦. ˝(cid:224)Ø(cid:228)Ł(cid:242)(cid:229)
(cid:226)(cid:229)ºŁ(cid:247)Ł(cid:237)(cid:243) (cid:243)ªº(cid:224)
∠LOM.
˛(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242): 150◦.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) LH (cid:22) (cid:226)ßæ(cid:238)(cid:242)(cid:224)/(cid:236)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:224)(cid:237)(cid:224)/ÆŁææ(cid:229)Œ(cid:242)(cid:240)Łæ(cid:224) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) S (cid:22) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229) º(cid:243)(cid:247)(cid:224)
MO Ł (cid:238)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:231)Œ(cid:224) LH. ˙(cid:224)(cid:236)(cid:229)(cid:242)Ł(cid:236), (cid:247)(cid:242)(cid:238) KS = SM. ˝(cid:224)(cid:239)(cid:240)Ł(cid:236)(cid:229)(cid:240), (cid:239)(cid:238)æŒ(cid:238)º(cid:252)Œ(cid:243) (cid:226) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:229) KSM (cid:236)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:224)(cid:237)(cid:224)
SH æ(cid:238)(cid:226)(cid:239)(cid:224)º(cid:224) æ (cid:226)ßæ(cid:238)(cid:242)(cid:238)Ø.
L
S
O
K M
H
ˇ(cid:238)æ(cid:247)Ł(cid:242)(cid:224)(cid:229)(cid:236) (cid:243)ªºß:
Используемые формулы
8! · (−2)4 · a0 = 28 · 40(cid:243)(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229): 28a2+28·24a+28·40 = −28·55.(cid:239)(cid:238)º(cid:243)(cid:247)Ł(cid:236) a2 + 24a + 95 = 0.˙(cid:224)(cid:236)(cid:229)(cid:242)Ł(cid:236), (cid:247)(cid:242)(cid:238) KS = SM.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.