Задание №180269: Математический праздник 2007
Кощей Бессмертный похитил у царя трёх дочерей. Отправился Иван-царевич их выручать. Приходит он к Кощею, а тот ему и говорит: "Завтра поутру увидишь пять заколдованных девушек. Три из них - царевы дочери, а ещё две - мои. Для тебя они будут неотличимы, а сами друг дружку различать смогут. Я подойду к одной из них и стану у неё спрашивать про каждую из пятерых: "Это царевна?". Она может отвечать и правду, и неправду, но ей дозволено назвать царевнами ровно двоих (себя тоже можно называть). Потом я так же опрошу каждую из остальных девушек, и они тоже должны будут назвать царевнами ровно двоих. Если после этого угадаешь, кто из них и вправду царевны, отпущу тебя восвояси невредимым. А если ещё и догадаешься, которая царевна старшая, которая средняя, а которая младшая, то и их забирай с собой." Иван может передать царевнам записку, чтобы научить их, кого назвать царевнами. Может ли он независимо от ответов Кощеевых дочерей: а) вернуться живым [ 4 балла ]; б) увезти царевен с собой? [ 5 баллов ]?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Математический праздник 2007» и рассчитано на уровень 6 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Математический праздник — официальный архив · 2007
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Математический праздник — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2007
- Материалы
- 0 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Математический праздник 2007» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Ответ. а) да; а) да.
Решение. а) Пусть все царевны назовут царевнами Кощеевых дочек
(см. рис). Тогда Кощеевых дочек назовут не менее трёх раз,
а царевен - не более чем дважды. Так Иван их и отличит.
Любое из решений пункта б), конечно, годится и для пункта а).
б) Первое решение. Пусть старшая дочь назовёт
царевнами среднюю и младшую, младшая - среднюю и старшую,
а средняя - себя и младшую (см. рис. 3, снизу). Тогда Иван сразу
узнает среднюю царевну - это единственная девушка, которая
назвала царевной себя, и её назвали царевной по крайней мере ещё
две девушки. После этого Иван узнает младшую царевну (её назвала
средняя), а потом и старшую (её назвала младшая). Заметим, что Иван
мог бы рассуждать и иначе. Три царевны называют друг друга по кругу:
образуют "треугольник", в котором каждая девушка называет следующую.
Поскольку ни одна из них не называет царевной дочерей Кощея, а тех
всего две, то дочери Кощея не могут входить ни в какой подобный
"треугольник". Так можно понять, какие из девушек царевны. Потом,
используя остальные ответы, нетрудно установить и старшинство.
Второе решение. Пусть та царевна, которая будет отвечать Кощею
первой, назовёт среднюю и младшую царевен, вторая по счёту - старшую
и младшую, последняя - старшую и среднюю. Тогда дочери Кощея - те две
девушки, которых не назвали трое остальных. Ошибки быть не может, ведь
каждую царевну называют как минимум двое. Теперь Иван знает, кто царевны,
а старшинство определяется без труда.
Опубликовано 11 февраля 2007 года
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.