Задание №180888: Командная олимпиада 2021
Вописанномчетырехугольнике𝐴𝐵𝐶𝐷 точка𝐼 –центрвписаннойокружности.Лучи𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 пересекаются в точке 𝐹, а лучи 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 – в точке 𝐺. Эллипс 𝜔 с фокусами в 𝐹 и 𝐺 проходит через точки 𝐵 и 𝐷. Ветвь гиперболы 𝛾 с фокусами в 𝐹 и 𝐺 проходит через точки 𝐴 и 𝐶. Кривые 𝜔 и 𝛾пересекаютсявточках𝑃 и𝑄.Докажите,чтоточки𝐼,𝑃 и𝑄 лежатнаоднойпрямой.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Командная олимпиада 2021» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив · 2021
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2021
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Командная олимпиада 2021» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Решение.
2𝑃𝐺 𝑃𝐹 + 𝑃𝐺 − 𝑃𝐹 + 𝑃𝐺 𝐵𝐹 + 𝐵𝐺 − 𝐴𝐹 + 𝐴𝐺
Докажем,что𝐺𝑃 = 𝐺𝑄 = 𝐺𝑌.Имеем𝑃𝐺 = = = =
2 2 2
𝐴𝐺 + 𝐵𝐺 + 𝐴𝐵 2𝐺𝑌
= = 𝐺𝑌. Аналогично проверяем, что 𝐹𝑃 = 𝐹𝑄 = 𝐹𝑍. Рассмотрим
2 2
соответствующие окружности с центрами в точках 𝐹 и 𝐺. Точки 𝑃 и 𝑄 лежат на их ради-
кальной оси. Касательные из точки 𝐼 к рассмотренным окружностям равны, поскольку
эторадиусывписаннойокружностичетырехугольника𝐴𝐵𝐶𝐷.Следовательно,точка𝐼 то-
же лежит на этой радикальной оси.
Используемые формулы
Докажем,что𝐺𝑃 = 𝐺𝑄 = 𝐺𝑌.Имеем𝑃𝐺 = = = == = 𝐺𝑌.Аналогично проверяем, что 𝐹𝑃 = 𝐹𝑄 = 𝐹𝑍.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.