Задание №180892: Командная олимпиада 2021
Пусть𝑓(𝑥),𝑔(𝑥) ∶ [0;+∞) ⟶ [0;+∞)—непрерывныефункции.Известно,что • 𝑓(0) = 𝑔(0) = 0; • 𝑔(𝑥) ≠ 0привсехположительных𝑥; • 𝑓(𝑥+𝑔(𝑓(𝑥))) = 𝑓(𝑥)привсехнеотрицательных𝑥. Докажите,что𝑓(𝑥) = 0привсехнеотрицательных𝑥. 1
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Командная олимпиада 2021» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив · 2021
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2021
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Командная олимпиада 2021» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Решение. Изусловия𝑓(𝑥+𝑔(𝑓(𝑥))) = 𝑓(𝑥)следует𝑓((𝑥+𝑔(𝑓(𝑥)))+𝑔(𝑓(𝑥+𝑔(𝑓(𝑥)))) = 𝑓(𝑥+
𝑔(𝑓(𝑥))).Тогда𝑓(𝑥+2𝑔(𝑓(𝑥))) = 𝑓(𝑥),азначитможнодалеепоказать,что𝑓(𝑥+𝑛𝑔(𝑓(𝑥))) =
𝑓(𝑥). Пусть утверждение задачи неверно, тогда существует максимальное 𝑡 ⩾ 0, для ко-
торого на отрезке [0;𝑡] функция 𝑓 принимает нулевое значение (в силу непрерывности).
В любой окрестности 𝑡 есть точки, где функция 𝑓 не равна нулю. Зафиксируем 𝑥 > 𝑡
и построим последовательность 𝑎 , которая сходится к 𝑡 и при каждом 𝑘 удовлетворяет
𝑘
условиям𝑓(𝑎 ) ≠ 0и𝑎 < 𝑥.Тогдафиксированный𝑥можноприблизитьпоследователь-
𝑘 𝑘
𝑥 − 𝑎 𝑥 − 𝑎
ностью 𝑎 + [ 𝑘 ]𝑔(𝑓(𝑎 )). Но поскольку 𝑓(𝑎 + [ 𝑘 ]𝑔(𝑓(𝑎 ))) = 𝑓(𝑎 ) → 0
𝑘 𝑔(𝑓(𝑎 )) 𝑘 𝑘 𝑔(𝑓(𝑎 )) 𝑘 𝑘
𝑘 𝑘
при 𝑘 → +∞, мы можем приблизить 𝑓(𝑥) к нулю, а значит значение функции в этой
точке не может быть отличным от нуля.
5
Используемые формулы
Изусловия𝑓(𝑥+𝑔(𝑓(𝑥))) = 𝑓(𝑥)следует𝑓((𝑥+𝑔(𝑓(𝑥)))+𝑔(𝑓(𝑥+𝑔(𝑓(𝑥)))) = 𝑓(𝑥+𝑔(𝑓(𝑥))).Тогда𝑓(𝑥+2𝑔(𝑓(𝑥))) = 𝑓(𝑥),азначитможнодалеепоказать,что𝑓(𝑥+𝑛𝑔(𝑓(𝑥))) =Но поскольку 𝑓(𝑎 + [ 𝑘 ]𝑔(𝑓(𝑎 ))) = 𝑓(𝑎 ) → 0
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.